Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu du sujet 53 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme, testant à la fois les compétences algébriques, géométriques et analytiques des élèves.
Points de vigilance et notions requises
- Second degré : Connaître les relations entre les racines d'un trinôme (\(S = -b/a\) et \(P = c/a\)).
- Trigonométrie : Maîtriser les formules de symétrie sur le cercle trigonométrique, notamment pour la fonction sinus.
- Géométrie repérée : Identifier l'équation d'un cercle \((x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2\) et savoir tester l'appartenance d'un point à une courbe.
- Vecteurs et Droites : Utiliser un vecteur normal \(\vec{n}(a;b)\) pour établir l'équation cartésienne \(ax+by+c=0\).
- Analyse : Appliquer la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\) impliquant la fonction exponentielle.
Correction détaillée
Question 1 : Pour \(2x^2 - 8x + 6 = 0\), on a \(a=2, b=-8, c=6\). La somme des racines est \(S = -b/a = -(-8)/2 = 4\) et le produit est \(P = c/a = 6/2 = 3\). La réponse exacte est la C.
Question 2 : D'après les propriétés du cercle trigonométrique, \(\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)\). Si \(\sin(\alpha) = 0,5\), alors \(\sin(\pi - \alpha) = 0,5\). La réponse exacte est la A.
Question 3 : L'équation est celle d'un cercle de centre \((3 ; -0,5)\) et de rayon \(R = \sqrt{25/4} = 2,5\). Testons le point \(R(5 ; -2)\) : \((5-3)^2 + (-2+0,5)^2 = 2^2 + (-1,5)^2 = 4 + 2,25 = 6,25\). Comme \(25/4 = 6,25\), le point appartient au cercle. La réponse exacte est la B.
Question 4 : Avec \(\vec{n}(5;6)\), l'équation est de la forme \(5x + 6y + c = 0\). En remplaçant par les coordonnées de \(A(2;-4)\) : \(5(2) + 6(-4) + c = 0 \Rightarrow 10 - 24 + c = 0 \Rightarrow c = 14\). L'équation est \(5x + 6y + 14 = 0\). La réponse exacte est la C.
Question 5 : \(f(x) = (2x + 3)e^x\). On pose \(u(x) = 2x+3\) (\(u'(x)=2\)) et \(v(x) = e^x\) (\(v'(x)=e^x\)). \(f'(x) = 2e^x + (2x+3)e^x = (2+2x+3)e^x = (2x+5)e^x\). La réponse exacte est la D.