Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu d'un sujet de Première Spécialité de 2020. Il balaye un large spectre du programme de mathématiques : les probabilités, les suites (somme de termes géométriques), la dérivation d'un produit et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. L'objectif est de vérifier la maîtrise des fondamentaux et la rapidité d'exécution sur des calculs classiques.

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilités : Ne pas confondre évènements indépendants et incompatibles. Pour l'indépendance, \(p(A \cap B) = p(A) \times p(B)\).
• Somme de suites géométriques : La formule est \(S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{n}}{1 - q}\). Attention, le nombre de termes \(n\) entre \(1,2^0\) et \(1,2^{10}\) est de 11.
• Fonction Exponentielle : Maîtriser les propriétés \(e^a \times e^b = e^{a+b}\), \(e^a / e^b = e^{a-b}\) et \(1/e^x = e^{-x}\).
• Dérivation : Appliquer rigoureusement la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\).

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Probabilités

On sait que \(A\) et \(B\) sont indépendants, donc \(p(A \cap B) = p(A) \times p(B) = 0,5 \times 0,2 = 0,1\). La formule de l'union est \(p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)\). D'où \(p(A \cup B) = 0,5 + 0,2 - 0,1 = 0,6\). La réponse correcte est la c.

Question 2 : Somme géométrique

Il s'agit de la somme des 11 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 1\) et de raison \(q = 1,2\). \(S = 1 \times \frac{1 - 1,2^{11}}{1 - 1,2} = \frac{1 - 1,2^{11}}{-0,2}\). À la calculatrice, on obtient environ \(32,15\). La réponse correcte est la d.

Question 3 : Expression de l'exponentielle

On utilise la propriété \(\frac{1}{e^x} = e^{-x}\). Ainsi, \(f(x) = \frac{x}{e^x} = x \times \frac{1}{e^x} = x e^{-x}\). La réponse correcte est la b.

Question 4 : Calcul de dérivée

Posons \(u(x) = 2x - 5\) et \(v(x) = e^x\). Alors \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = e^x\). En appliquant \((uv)' = u'v + uv'\), on a \(g'(x) = 2e^x + (2x - 5)e^x\). En factorisant par \(e^x\), on obtient \(g'(x) = (2 + 2x - 5)e^x = (2x - 3)e^x\). La réponse correcte est la a.

Question 5 : Simplification algébrique

En appliquant les règles de calcul sur les puissances d'exponentielle : \(\frac{e^3 \times e^{-5}}{e^2} = \frac{e^{3-5}}{e^2} = \frac{e^{-2}}{e^2} = e^{-2-2} = e^{-4}\). Puisque \(e^{-4} = \frac{1}{e^4}\), la réponse correcte est la c.