Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de cinq questions indépendantes. Ce format est classique dans les épreuves de contrôle continu de la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme : les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, le calcul des termes d'une suite définie par récurrence, les probabilités conditionnelles via la loi des probabilités totales, la trigonométrie et enfin l'espérance d'une variable aléatoire.

Points de vigilance et notions de cours

• Exponentielle : Il faut parfaitement maîtriser les propriétés \(e^{a-b} = e^a/e^b\) et faire attention aux changements de signes lors de la soustraction d'un binôme au numérateur.
• Suites : Ne pas confondre le rang \(n\) et la valeur du terme \(u_n\). Le calcul de \(u_3\) nécessite de calculer successivement \(u_1\) et \(u_2\).
• Probabilités : La construction d'un arbre pondéré est fortement recommandée pour visualiser les intersections et appliquer la formule des probabilités totales.
• Trigonométrie : La relation fondamentale \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) est indispensable. Le signe du sinus dépend du quadrant dans lequel se situe \(x\).
• Variables aléatoires : L'espérance est une moyenne pondérée par les probabilités.

Correction détaillée

Question 1 : Exponentielle

On utilise la propriété \(\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\). Ici, \(a = 5x\) et \(b = 2x - 2\).
On a donc \(\frac{e^{5x}}{e^{2x-2}} = e^{5x - (2x - 2)} = e^{5x - 2x + 2} = e^{3x + 2}\).
Réponse correcte : a.

Question 2 : Suites

Calculons les termes successifs :
\(u_0 = 2\)
\(u_1 = 3u_0 - 2 = 3(2) - 2 = 4\)
\(u_2 = 3u_1 - 2 = 3(4) - 2 = 10\)
\(u_3 = 3u_2 - 2 = 3(10) - 2 = 28\).
Réponse correcte : c.

Question 3 : Probabilités conditionnelles

Soit \(D\) l'événement "la pièce est défectueuse" et \(R\) "la pièce est refusée".
\(P(D) = 0,03\) donc \(P(\bar{D}) = 0,97\).
\(P(R|D) = 0,98\) (une pièce défectueuse est refusée dans 98% des cas).
\(P(\bar{R}|\bar{D}) = 0,95\) (une pièce bonne est acceptée dans 95% des cas), donc \(P(R|\bar{D}) = 0,05\).
D'après la formule des probabilités totales :
\(P(R) = P(R \cap D) + P(R \cap \bar{D}) = 0,03 \times 0,98 + 0,97 \times 0,05 = 0,0294 + 0,0485 = 0,0779\).
Réponse correcte : a.

Question 4 : Trigonométrie

On sait que \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
\(\sin^2 x + (\frac{5}{13})^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 x + \frac{25}{169} = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\).
Ainsi, \(\sin x = \frac{12}{13}\) ou \(\sin x = -\frac{12}{13}\).
Comme \(x \in [-\frac{\pi}{2} ; 0]\), le sinus doit être négatif. Donc \(\sin x = -\frac{12}{13}\).
Réponse correcte : d.

Question 5 : Variables aléatoires

\(E(X) = \sum x_i p_i = (-2 \times 0,3) + (0 \times 0,5) + (5 \times 0,2) = -0,6 + 0 + 1,0 = 0,4\).
Réponse correcte : c.