Analyse de l'énoncé et thématiques abordées

Cet exercice est un classique des épreuves de spécialité mathématiques en classe de Première. Il mobilise deux piliers majeurs du programme de probabilités : la modélisation par un arbre pondéré et l'étude d'une variable aléatoire. L'énoncé place l'élève dans un contexte industriel (automobile) où il doit organiser des données de fréquences pour en déduire des probabilités d'événements composés et une espérance de gain.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• Construction de l'arbre : Il faut bien distinguer les probabilités marginales (en début d'arbre) des probabilités conditionnelles (sur le second niveau de branches).
• La loi des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer $P(L)$, elle nécessite de sommer les probabilités des différents chemins menant à l'événement 'Luxe'.
• Variable aléatoire et Espérance : Bien identifier les valeurs possibles de $X$ ($2500$ et $4000$) et ne pas oublier que la somme des probabilités de la loi de $X$ doit être égale à 1.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Construction de l'arbre pondéré : L'arbre commence par deux branches : $C$ avec $0,8$ et $\overline{C}$ avec $0,2$. De $C$, partent deux branches : $L$ avec $0,3$ (car $70\%$ sont Sport, donc $30\%$ Luxe) et $\overline{L}$ (Sport) avec $0,7$. De $\overline{C}$, partent $L$ avec $0,6$ et $\overline{L}$ avec $0,4$.

2. Calcul de $P(C \cap L)$ : Selon la formule des probabilités composées : $P(C \cap L) = P(C) \times P_C(L) = 0,8 \times 0,3 = 0,24$. Il y a donc $24\%$ de chances que le client choisisse une citadine en finition luxe.

3. Justification de $P(L) = 0,36$ : Par la formule des probabilités totales, $P(L) = P(C \cap L) + P(\overline{C} \cap L)$. On calcule $P(\overline{C} \cap L) = 0,2 \times 0,6 = 0,12$. Ainsi, $P(L) = 0,24 + 0,12 = 0,36$.

4. Variable aléatoire $X$ : Les valeurs sont $a = 4000$ (Luxe) et $b = 2500$ (Sport).

• $P(X = 4000) = P(L) = 0,36$.
• $P(X = 2500) = P(\overline{L}) = 1 - 0,36 = 0,64$.
• Espérance : $E(X) = 4000 \times 0,36 + 2500 \times 0,64 = 1440 + 1600 = 3040$. Le montant moyen de la finition par véhicule est donc de 3040 euros.