Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une évolution économique (prix de l'immobilier) à l'aide des suites numériques. L'énoncé présente une situation d'augmentation annuelle en pourcentage, ce qui doit immédiatement orienter l'élève vers l'utilisation d'un coefficient multiplicateur et donc vers une suite géométrique. Enfin, une partie algorithmique en langage Python vient compléter l'étude pour déterminer un seuil critique.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 3 % correspond à multiplier par (1 + 3/100) = 1,03.
- Formule explicite : Bien distinguer la relation de récurrence ($u_{n+1} = q imes u_n$) de la forme explicite ($u_n = u_0 imes q^n$).
- Interprétation de n : Faire attention au décalage temporel : n=0 correspond à 2019, donc 2024 correspond à n=5.
- Python : Comprendre le fonctionnement d'une boucle 'while' qui s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes :
En 2019 ($n=0$), $u_0 = 4200$.
En 2020 ($n=1$), $u_1 = 4200 imes 1,03 = 4326$.
En 2021 ($n=2$), $u_2 = 4326 imes 1,03 = 4455,78$. Le résultat est validé.
2. Nature et expression de la suite :
a) La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 4200$ et de raison $q = 1,03$, car on multiplie chaque terme par 1,03 pour obtenir le suivant.
b) Pour tout entier $n$, $u_n = u_0 imes q^n$, soit $u_n = 4200 imes 1,03^n$.
c) En 2024 ($n = 2024 - 2019 = 5$), le prix au $m^2$ est $u_5 = 4200 imes 1,03^5 \approx 4868,99$ €. Pour un appartement de 40 $m^2$, le coût total sera de $40 imes 4868,99 \approx 194759,60$ €. Puisque $194759,60 < 200000$, l'achat est possible.
3. Algorithme Python
Pour compléter la fonction seuil :
Ligne 5 : u = u * 1.03 (On met à jour la valeur du prix en appliquant l'augmentation de 3 %).
Ligne 7 : return n (On souhaite connaître le nombre d'années écoulées pour dépasser 8000 €).