Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des sujets de Première Spécialité de 2020. Il présente l'avantage de couvrir cinq thématiques distinctes du programme, permettant d'évaluer la polyvalence de l'élève. Les questions portent sur la géométrie analytique (droites et cercles), les propriétés des fonctions circulaires (cosinus), la programmation en Python appliquée aux suites numériques, et les bases de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions de cours

• Géométrie repérée : Il faut connaître le lien entre l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ et les vecteurs. Un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$ et un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$.
• Intersection Cercle/Droite : La méthode la plus efficace consiste à substituer l'équation de la droite dans celle du cercle pour obtenir une équation du second degré. Le signe du discriminant $\Delta$ détermine le nombre de points d'intersection.
• Trigonométrie : Rappelez-vous que $\cos(-X) = \cos(X)$, ce qui caractérise une fonction paire. La période de $\cos(kx)$ est $\frac{2\pi}{k}$.
• Python : Soyez attentifs à l'initialisation de la variable (ici $u_0=1$), à la structure de la boucle (le nombre d'itérations) et à la valeur renvoyée par la fonction (le return).
• Exponentielle : La relation fondamentale $\text{e}^0 = 1$ est un automatisme à acquérir.

Correction détaillée

Question 1 : L'équation est $2x - 3y + 4 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n}(2; -3)$. En multipliant ses coordonnées par $-6$, on obtient $(-12; 18)$. La réponse correcte est la b.

Question 2 : On remplace $y$ par $1$ dans l'équation du cercle : $x^2 - 2x + 1^2 + 1 = 3$, soit $x^2 - 2x - 1 = 0$. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions pour $x$, donc deux points d'intersection. La réponse correcte est la c.

Question 3 : $f(-x) = \cos(2(-x)) = \cos(-2x)$. Comme la fonction cosinus est paire, $\cos(-2x) = \cos(2x) = f(x)$. La fonction est donc paire. La réponse correcte est la a.

Question 4 : On cherche à calculer $u_n$ avec $u_0=1$. L'option d est la seule correcte car :

• Elle initialise bien $u$ à $1$.
• Elle utilise la bonne formule de récurrence dans la boucle.
• Elle retourne la valeur finale de $u$ (contrairement à la b qui retourne $n$).

Question 5 : Par définition du cours, la fonction exponentielle s'annule en $1$ pour l'antécédent $0$ (car $\text{e}^0 = 1$). La réponse correcte est la c.