Analyse de l'épreuve

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) de 5 questions indépendantes. Il balaie deux piliers majeurs du programme de Première Spécialité Mathématiques : l'étude des fonctions polynômes du second degré et les fonctions exponentielles, incluant le calcul formel et la dérivation.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir passer de la forme développée à la forme factorisée en identifiant les racines (soit par calcul du discriminant \(\Delta\), soit par racines évidentes).
• Propriétés de l'exponentielle : Maîtriser les règles de calcul \((\text{e}^a)^n = \text{e}^{an}\) et \(\frac{\text{e}^a}{\text{e}^b} = \text{e}^{a-b}\).
• Dérivation : Connaître la dérivée de \(\text{e}^x\) et la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\).
• Interprétation graphique : Comprendre que le nombre dérivé \(f'(a)\) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).

Correction détaillée

Question 1 : Factorisation

Pour \(f(x) = 2x^2 + 6x - 8\), testons les racines évidentes. \(f(1) = 2 + 6 - 8 = 0\), donc \(1\) est racine. Le produit des racines est \(\frac{c}{a} = \frac{-8}{2} = -4\). L'autre racine est donc \(-4\). La forme factorisée est \(a(x-x_1)(x-x_2)\), soit \(2(x-1)(x+4)\). Réponse c.

Question 2 : Calcul de puissance

On applique les propriétés algébriques : \(\frac{(\text{e}^x)^2}{\text{e}^{-x}} = \frac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{-x}} = \text{e}^{2x - (-x)} = \text{e}^{2x+x} = \text{e}^{3x}\). Réponse b.

Question 3 : Équation de tangente

Soit \(g(x) = \text{e}^x\). On a \(g'(x) = \text{e}^x\). L'équation est \(y = g'(0)(x-0) + g(0)\). Or \(g(0) = \text{e}^0 = 1\) et \(g'(0) = 1\). L'équation est \(y = 1(x) + 1\), soit \(y = x+1\). Réponse c.

Question 4 : Dérivée d'un produit

On pose \(u(x) = -x+1\) (\(u'(x) = -1\)) et \(v(x) = \text{e}^x\) (\(v'(x) = \text{e}^x\)).
\(f'(x) = u'v + uv' = -1\text{e}^x + (-x+1)\text{e}^x = \text{e}^x(-1 - x + 1) = -x\text{e}^x\). Réponse a.

Question 5 : Lecture graphique

L'énoncé demande de trouver la proposition fausse.
a) \(f'(-2)=0\) : Vrai (sommet de la courbe).
c) \(f(0)=3\) : Vrai (la courbe coupe l'axe des ordonnées en 3).
d) \(f'(0)=-2\) : La tangente \(T\) passe par \((0,3)\) et \((1,1)\). Son coefficient est \(\frac{1-3}{1-0} = -2\). Vrai.
b) \(f'(3)=-2\) est faux, car la pente à \(x=3\) est presque nulle. Réponse b.