Analyse de l'énoncé : Modélisation par une suite

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude d'une suite arithmético-géométrique dans un contexte concret : l'administration d'un médicament. La problématique centrale est de comprendre comment une quantité de substance évolue sous l'influence de deux facteurs opposés : une élimination naturelle (diminution en pourcentage) et un apport régulier (augmentation constante).

Points de vigilance et notions de cours

• Coefficients multiplicateurs : Une baisse de 20 % correspond à multiplier par 0,8 (soit $1 - 0,20$). C'est la base de la partie géométrique de la suite.
• Relation de récurrence : La forme $U_{n+1} = aU_n + b$ est typique. Ici, $a=0,8$ et $b=1$.
• Limites : Pour une suite de ce type avec $|a| < 1$, la suite converge vers une limite $L$ telle que $L = aL + b$.
• Algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle 'Tant que' (While). La boucle s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de $U_1$ : On part de $U_0 = 10$. Après une heure, 20 % sont éliminés, il reste donc $10 \times 0,8 = 8$ ml. On ajoute ensuite l'injection horaire de 1 ml. On obtient bien $U_1 = 8 + 1 = 9$.

2. Justification de la récurrence : Pour passer de l'heure $n$ à l'heure $n+1$, la quantité $U_n$ subit une baisse de 20 %, ce qui revient à multiplier par $0,8$. On ajoute ensuite l'injection constante de 1 ml. On a donc systématiquement $U_{n+1} = 0,8 U_n + 1$.

3. Conjecture de la limite : En observant le graphique, on remarque que les points se rapprochent d'une droite horizontale d'équation $y=5$. On peut conjecturer que $\lim_{n \to +\infty} U_n = 5$.

4. Analyse de l'algorithme : L'algorithme cherche à déterminer le plus petit entier $N$ tel que la quantité de médicament $U_N$ devienne inférieure ou égale à 5,1 ml. C'est ce qu'on appelle un seuil de sortie.

5. Valeur de N : En consultant le tableau de valeurs fourni, on cherche la première valeur de $U_n$ passant sous la barre des 5,1. On voit que $U_{17} \approx 5,112$ (supérieur à 5,1) et $U_{18} \approx 5,090$ (inférieur à 5,1). La boucle s'arrête donc quand $N = 18$.