Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution d'une population de plantes (les chardons) à l'aide d'une suite. La structure de l'évolution combine une croissance proportionnelle (5 %) et un apport constant (15 m²). C'est le cas classique d'une suite arithmético-géométrique, une notion centrale du programme de mathématiques en classe de Première Spécialité. L'objectif est de transformer cette suite complexe en une suite géométrique simple à l'aide d'une suite auxiliaire afin de trouver une expression explicite du terme général.

Points de vigilance et notions requises

• Coefficients multiplicateurs : Une augmentation de 5 % correspond à multiplier par \(1 + 0,05 = 1,05\).
• Nature des suites : Pour prouver qu'une suite n'est pas arithmétique, on compare \(u_1 - u_0\) et \(u_2 - u_1\). Pour prouver qu'elle n'est pas géométrique, on compare \(\frac{u_1}{u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\).
• Suite auxiliaire : La démonstration du caractère géométrique de \(v_n\) nécessite de calculer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).
• Utilisation de la calculatrice : Une attention particulière doit être portée lors du calcul de \(u_8\) pour vérifier si le seuil du doublement est atteint.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul des premiers termes :
On a \(u_0 = 300\).
\(u_1 = 300 \times 1,05 + 15 = 330\).
\(u_2 = 330 \times 1,05 + 15 = 361,5\).

2. Nature de la suite :
\(u_1 - u_0 = 30\) et \(u_2 - u_1 = 31,5\). Les différences ne sont pas constantes, donc \((u_n)\) n'est pas arithmétique.
\(\frac{u_1}{u_0} = 1,1\) et \(\frac{u_2}{u_1} \approx 1,095\). Les rapports ne sont pas égaux, donc \((u_n)\) n'est pas géométrique.

3. Étude de la suite auxiliaire \((v_n)\) :
\(v_0 = u_0 + 300 = 600\).
Pour tout \(n\), \(v_{n+1} = u_{n+1} + 300\).
En remplaçant \(u_{n+1}\), on obtient : \(v_{n+1} = 1,05u_n + 15 + 300 = 1,05u_n + 315\).
On factorise par 1,05 : \(v_{n+1} = 1,05(u_n + \frac{315}{1,05}) = 1,05(u_n + 300) = 1,05v_n\).
\((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1,05\) et de premier terme \(v_0 = 600\).

4. Expression générale :
\(v_n = v_0 \times q^n = 600 \times 1,05^n\).
Comme \(v_n = u_n + 300\), alors \(u_n = v_n - 300 = 600 \times 1,05^n - 300\).

5. Analyse du doublement :
La surface initiale est 300 m². On cherche si \(u_8 \geq 600\).
\(u_8 = 600 \times 1,05^8 - 300 \approx 600 \times 1,4775 - 300 \approx 586,47\).
Comme \(586,47 < 600\), il est incorrect d'affirmer que la surface a doublé.