Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques de niveau Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré. Il articule deux approches complémentaires : l'analyse graphique (lecture de coordonnées et de coefficients directeurs) et l'analyse algébrique (calcul formel de dérivée et résolution d'équations du second degré).

Points de vigilance et notions clés

• Lecture du nombre dérivé : Il faut se rappeler que \(f'(a)\) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\). Graphiquement, on utilise le déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal.
• Dérivation : La règle de dérivation des puissances \(x^n\) est centrale. Ici, \(f\) est de la forme \(ax^3 + bx^2 + cx + d\).
• Second degré : L'étude du signe de la dérivée nécessite la maîtrise du discriminant \(\Delta\) pour dresser le tableau de variations.
• Équation de tangente : La formule \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) est indispensable pour vérifier l'appartenance d'un point extérieur.

Correction Détaillée

1. Lecture graphique :
Pour \(x = -1\), on lit le point sur la courbe \((-1 ; 1)\), donc \(f(-1) = 1\). La tangente y est descendante ; en se déplaçant de 1 vers la droite, on descend de 1, donc \(f'(-1) = -1\).
Pour \(x = 0\), on lit le point \((0 ; 1)\), donc \(f(0) = 1\). La tangente y monte : en avançant de 1, on monte de 2, donc \(f'(0) = 2\).

2. Calcul algébrique :
a) La dérivée de \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1\) est \(f'(x) = 3x^2 + 6x + 2\).
b) Pour résoudre \(3x^2 + 6x + 2 = 0\), on calcule \(\Delta = 6^2 - 4 \times 3 \times 2 = 36 - 24 = 12\). Les solutions sont \(x_1 = \frac{-6 - \sqrt{12}}{6} = -1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\) et \(x_2 = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\).

3. Tableau de variations :
Le trinôme \(3x^2 + 6x + 2\) est du signe de \(a=3\) (positif) à l'extérieur des racines. La fonction \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty ; x_1]\), décroissante sur \([x_1 ; x_2]\), puis croissante sur \([x_2 ; +\infty[\).

4. Tangente au point d'abscisse -2 :
Calculons d'abord \(f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 2(-2) + 1 = -8 + 12 - 4 + 1 = 1\).
Calculons \(f'(-2) = 3(-2)^2 + 6(-2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2\).
L'équation de la tangente \(T_{-2}\) est : \(y = 2(x - (-2)) + 1\), soit \(y = 2x + 5\).
Vérifions pour \(S(-4 ; -3)\) : \(2 \times (-4) + 5 = -8 + 5 = -3\). Le point \(S\) appartient bien à la tangente.