Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une suite explicite de la forme $u_n = f(n)$. Il combine des calculs de termes, une étude de variations par le calcul algébrique de la différence $u_{n+1} - u_n$, et une initiation à l'algorithmie avec Python. La particularité de cette suite est qu'elle tend vers 1 par valeurs supérieures, ce qui justifie l'utilisation d'un algorithme de seuil pour trouver le rang $n$ à partir duquel les termes sont proches de la limite.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul fractionnaire : La manipulation des fractions est centrale, notamment pour la mise au même dénominateur lors de l'étude des variations.
• Sens de variation : Rappelez-vous que pour une suite, on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si la différence est négative pour tout $n$, la suite est décroissante.
• Logique algorithmique : Dans une boucle while (tant que), la condition doit être celle qui permet de continuer la recherche. Si l'on cherche le premier $n$ tel que $u_n \leqslant a$, la boucle doit tourner tant que $u_n > a$.

Correction détaillée

1. Calcul des termes :

• $u_0 = \dfrac{0+2}{0+1} = 2$
• $u_1 = \dfrac{1+2}{1+1} = \dfrac{3}{2} = 1,5$
• $u_2 = \dfrac{2+2}{2+1} = \dfrac{4}{3} \approx 1,33$
• $u_{99} = \dfrac{99+2}{99+1} = \dfrac{101}{100} = 1,01$

2. Étude algébrique :

a) $u_n - 1 = \dfrac{n+2}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+1} = \dfrac{n+2-(n+1)}{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.

b) Pour $u_{n+1} - u_n$ :
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+3}{n+2} - \dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{(n+3)(n+1) - (n+2)^2}{(n+2)(n+1)}$
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{(n^2+4n+3) - (n^2+4n+4)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$.

c) Comme $n$ est un entier naturel, $n+1 > 0$ et $n+2 > 0$. Le dénominateur est positif, le numérateur est $-1$, donc la différence est strictement négative. La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante.

Algorithmique en Python

Pour compléter le programme, nous devons traduire la condition d'arrêt. L'énoncé demande de s'arrêter quand $u_n \leqslant a$. La boucle continue donc tant que $u_n > a$.

def seuil(a):
    n = 0
    while (n+2) / (n+1) > a:
        n = n + 1
    return n

Notez que l'incrémentation n = n + 1 permet de tester les rangs successifs jusqu'à ce que la condition de sortie soit validée.