Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques de niveau Première Spécialité porte sur l'étude des suites géométriques et leur application concrète à travers une situation de capitalisation. L'exercice est structuré en deux parties : une approche théorique (Partie A) incluant le calcul de termes, de sommes et la complétion d'un algorithme, suivie d'une interprétation concrète (Partie B) liée à un projet d'achat immobilier.
Points de vigilance et notions de cours
- Formule du terme général : Pour une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$, on a $u_n = u_0 \times q^n$.
- Somme des termes : La somme $S$ des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ à $u_n$) est donnée par $S = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$).
- Logique algorithmique : Dans une boucle 'Tant que', la condition doit être celle qui maintient l'exécution. Pour trouver un seuil de dépassement, on boucle tant que la somme est inférieure au seuil.
Guide de résolution détaillé
Partie A
1. Calcul des termes :
On a $u_0 = 0,2$ et $q = 2$.
$u_{18} = 0,2 \times 2^{18} = 0,2 \times 262\,144 = 52\,428,8$.
$u_{50} = 0,2 \times 2^{50} \approx 2,25 \times 10^{14}$. La croissance est exponentielle.
2. Calcul de la somme :
La somme demandée est $S = u_0 + u_1 + \ldots + u_{18}$. Il y a 19 termes.
$S = 0,2 \times \frac{1 - 2^{19}}{1 - 2} = 0,2 \times (2^{19} - 1) = 0,2 \times 524\,287 = 104\,857,4$.
3. Algorithme :
L'objectif est de trouver $n$ tel que $S > 100\,000$.
– Tant que : $S < 100\,000$
– U : $U \times 2$ (on calcule le terme suivant)
– S : $S + U$ (on l'ajoute à la somme cumulée)
Partie B
La situation de Camille correspond exactement à la suite $(u_n)$. À la naissance ($n=0$), elle reçoit 0,20 €. À chaque anniversaire, le montant double. À 18 ans, elle reçoit le terme $u_{18}$. La somme totale versée correspond à la somme calculée à la question A.2, soit $104\,857,4$ €. Comme $104\,857,4 > 100\,000$, Claude peut effectivement financer l'appartement à Angers.