Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques de Première Spécialité. Il porte sur la modélisation d'une situation aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré, le calcul de probabilités conditionnelles et l'étude d'une variable aléatoire. Le scénario (un jeu de judo) permet d'identifier clairement deux étapes : la nature de l'adversaire (Ceinture noire ou non) et l'issue du combat (Gagné ou Perdu).

Points de vigilance et notions clés

• Arbre pondéré : Veillez à ce que la somme des probabilités issues d'un même nœud soit égale à 1.
• Formule des probabilités totales : C'est l'outil indispensable pour calculer $P(G)$. Elle stipule que $P(G) = P(N \cap G) + P(\overline{N} \cap G)$.
• Probabilités conditionnelles inverses : Pour calculer $P_{\overline{G}}(N)$, on utilise la définition $P(N \cap \overline{G}) / P(\overline{G})$. Ne confondez pas $P_{\overline{G}}(N)$ avec $P_N(\overline{G})$.
• Indépendance : Dans la dernière question, le terme 'combats successifs' sous-entend l'indépendance des épreuves, menant à une loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0.55$.

Correction détaillée

1. Construction de l'arbre :
On place $P(N) = 0,6$ sur la première branche du haut, donc $P(\overline{N}) = 1 - 0,6 = 0,4$ en bas. Ensuite, selon l'énoncé, $P_N(G) = 0,45$ (donc $P_N(\overline{G}) = 0,55$) et $P_{\overline{N}}(G) = 0,7$ (donc $P_{\overline{N}}(\overline{G}) = 0,3$).

2. Calcul de $P(N \cap G)$ :
En suivant le chemin adéquat : $P(N \cap G) = P(N) \times P_N(G) = 0,6 \times 0,45 = 0,27$.

3. Probabilité totale de gagner :
D'après la formule des probabilités totales :
$P(G) = P(N \cap G) + P(\overline{N} \cap G) = 0,27 + (0,4 \times 0,7) = 0,27 + 0,28 = 0,55$. Le résultat attendu est bien vérifié.

4. Probabilité que l'adversaire soit ceinture noire sachant que Claire a perdu :
On cherche $P_{\overline{G}}(N) = \frac{P(N \cap \overline{G})}{P(\overline{G})}$.
Ici, $P(\overline{G}) = 1 - P(G) = 1 - 0,55 = 0,45$.
$P(N \cap \overline{G}) = P(N) \times P_N(\overline{G}) = 0,6 \times 0,55 = 0,33$.
D'où $P_{\overline{G}}(N) = \frac{0,33}{0,45} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15} \approx 0,733$.

5. Loi de probabilité de $X$ :
Claire effectue 2 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p=0,55$. $X$ suit la loi binomiale $B(2 ; 0,55)$.
- $P(X=0) = 0,45^2 = 0,2025$
- $P(X=1) = 2 \times (0,55 \times 0,45) = 0,495$
- $P(X=2) = 0,55^2 = 0,3025$
La somme des probabilités est bien égale à 1.