Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves de Première Spécialité Mathématiques de 2020. Il balaye un spectre large du programme : les suites numériques (arithmétiques et géométriques), l'algorithmie en Python et la trigonométrie. La difficulté réside dans la précision des formules et la vigilance sur les bornes (notamment pour Python et les sommes de suites).

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il faut connaître la formule du terme général d'une suite arithmétique $u_n = u_0 + nr$ et la formule de la somme des termes d'une suite géométrique $S = \text{Premier terme} \times \frac{1-q^{\text{nbre de termes}}}{1-q}$.
• Python : Attention à la fonction range(n) qui s'arrête à $n-1$. Pour inclure l'entier 100, il faut utiliser range(101).
• Trigonométrie : La relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ est indispensable, ainsi que la lecture du cercle trigonométrique pour déterminer le signe du sinus selon l'intervalle.

Correction détaillée

Question 1 : La suite est arithmétique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $r = 0,9$. Le terme général est $u_n = u_0 + n \times r$. Pour $n=50$, on calcule $u_{50} = 2 + 50 \times 0,9 = 2 + 45 = 47$. La réponse exacte est la a.

Question 2 : On cherche la somme des 37 premiers termes d'une suite géométrique ($v_0$ à $v_{36}$). La formule est $v_0 \times \frac{1-q^{37}}{1-q}$. Avec $v_0=2$ et $q=0,9$, on obtient $2 \times \frac{1-0,9^{37}}{1-0,9}$. La réponse exacte est la b.

Question 3 : Pour sommer les entiers de 1 à 100, il faut une boucle qui parcourt ces valeurs. En Python, range(101) génère les entiers de 0 à 100. L'option c est la seule syntaxiquement cohérente (malgré l'oubli fréquent des parenthèses dans l'énoncé original) pour effectuer s = s + k de manière itérative jusqu'à 100.

Question 4 : On sait que $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Donc $0,8^2 + \sin^2(x) = 1 \Rightarrow 0,64 + \sin^2(x) = 1 \Rightarrow \sin^2(x) = 0,36$. Ainsi $\sin(x) = 0,6$ ou $\sin(x) = -0,6$. Comme $x \in [-\frac{\pi}{2} ; 0]$, le sinus doit être négatif. La réponse est donc $\sin(x) = -0,6$ (réponse b).

Question 5 : Pour trouver le point associé à $\frac{13\pi}{4}$, on cherche sa mesure principale ou un équivalent modulo $2\pi$. $\frac{13\pi}{4} = \frac{16\pi - 3\pi}{4} = 4\pi - \frac{3\pi}{4}$. Comme $4\pi$ correspond à deux tours complets, le point est le même que celui de $-\frac{3\pi}{4}$. La réponse exacte est la b.