Analyse de l'énoncé et thématique
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'application concrète des suites numériques, et plus précisément des suites géométriques, à un problème d'écologie urbaine : la réduction des déchets ménagers. L'énoncé demande de modéliser une baisse annuelle de 1,5 %, de déterminer la forme explicite de la suite associée, puis de manipuler un algorithme en langage Python pour trouver un seuil.
Points de vigilance et notions clés
- Coefficient multiplicateur : Savoir transformer une baisse de \(t\%\) en un coefficient multiplicateur \(k = 1 - \frac{t}{100}\). Ici, une baisse de 1,5 % correspond à multiplier par 0,985.
- Nature de la suite : Identifier qu'une relation de type \(d_{n+1} = q \times d_n\) définit une suite géométrique de raison \(q\).
- Expression fonctionnelle : Maîtriser la formule \(u_n = u_0 \times q^n\) pour les suites géométriques.
- Algorithmique Python : Comprendre le fonctionnement d'une boucle 'While' (tant que) et la mise à jour des variables de stock et de compteur.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de \(d_1\) : Une diminution de 1,5 % revient à calculer \(d_0 - 0,015 \times d_0\), soit \((1 - 0,015)d_0\). Ainsi, \(d_1 = 0,985 \times 537 \approx 529\) kg. Le coefficient multiplicateur est bien 0,985.
2. Expression de \(d_{n+1}\) : Chaque année, la production est multipliée par 0,985. On a donc la relation de récurrence \(d_{n+1} = 0,985 \times d_n\).
3. Nature et terme général : La suite \((d_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(d_0 = 537\) et de raison \(q = 0,985\). On en déduit l'expression explicite pour tout entier \(n\) : \(d_n = 537 \times 0,985^n\).
4. Algorithme Python :
Le seuil visé est 513 kg. L'algorithme doit continuer tant que la production est strictement supérieure à ce seuil.
Ligne 4 : While d > 513 :
Ligne 6 : d = d * 0.985 (ou d *= 0.985).
5. Détermination de l'année : On cherche \(n\) tel que \(537 \times 0,985^n < 513\). En utilisant la calculatrice (menu table ou calculs successifs) :
- Pour \(n=3\) : \(d_3 \approx 537 \times 0,9556 \approx 513,19\) (toujours supérieur à 513).
- Pour \(n=4\) : \(d_4 \approx 537 \times 0,9413 \approx 505,49\) (inférieur à 513).
L'année correspondante est \(2019 + 4 = 2023\). La production sera inférieure au niveau national à partir de 2023.