Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité se concentre sur la modélisation d'une situation concrète (la progression d'une athlète) à l'aide de suites numériques et d'un algorithme Python. Nous sommes en présence d'une progression constante de la longueur du saut, ce qui nous oriente immédiatement vers l'étude d'une suite arithmétique. L'énoncé définit le premier terme comme $s_1 = 8$ et précise que chaque semaine, la longueur augmente de $0,1$ m, définissant ainsi la raison de la suite.
Points de vigilance et notions de cours
- La raison de la suite : Il est crucial d'identifier que l'augmentation est additive et constante ($+0,1$), ce qui caractérise une suite arithmétique.
- L'indice de départ : Attention, ici la suite commence à $n=1$ ($s_1 = 8$). La formule générale pour $s_n$ est donc $s_n = s_1 + (n-1)r$.
- Syntaxe Python : La fonction
range(2, n + 1) en Python génère des entiers allant de 2 jusqu'à $n$ inclus. Pour $n=4$, la boucle s'exécutera pour $k=2$, $k=3$ et $k=4$.
Guide de résolution et correction
1. Étude de l'algorithme Python
Pour la question 1.a, analysons l'exécution de saut(4) :
- Initialisation : $s = 8$.
- Boucle pour $k$ allant de 2 à 4 :
- $k=2 : s = 8 + 0,1 = 8,1$
- $k=3 : s = 8,1 + 0,1 = 8,2$
- $k=4 : s = 8,2 + 0,1 = 8,3$
- La valeur renvoyée est donc 8,3.
Pour la question 1.b, cette valeur représente la longueur du saut de Fanny lors de la 4-ème semaine d'entraînement, soit 8,3 mètres.
2. Expression de $s_n$ en fonction de $n$
La suite $(s_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $s_1 = 8$ et de raison $r = 0,1$. La formule du cours pour une suite arithmétique de premier terme $u_1$ est : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
En remplaçant par les données de l'exercice : $s_n = 8 + (n-1) imes 0,1$.
En développant, on obtient : $s_n = 8 + 0,1n - 0,1 = 7,9 + 0,1n$.
3. Qualification à la compétition
Pour être qualifiée, Fanny doit atteindre au moins 12 mètres. On cherche donc le plus petit entier $n$ tel que $s_n \geq 12$.
Résolvons l'inéquation :
$8 + 0,1(n-1) \geq 12$
$0,1(n-1) \geq 4$
$n-1 \geq 40$
$n \geq 41$
Conclusion : Fanny réalisera un tel saut à partir de la 41-ème semaine d'entraînement.