Introduction : Un sujet équilibré et représentatif du programme

Le sujet 57 de l'épreuve de spécialité mathématiques de Première (session 2020) constitue un excellent support de révision pour les élèves. D'une difficulté globale moyenne, il balaie les piliers fondamentaux du programme : l'analyse de fonctions, les suites numériques, les probabilités conditionnelles et la géométrie analytique. L'équilibre entre questions de cours directes (QCM) et problèmes de modélisation (placement financier) permet de tester à la fois la rigueur technique et la capacité de réflexion des candidats.

Exercice 1 : Le QCM, un test de réflexes mathématiques

L'exercice 1 est un QCM de 5 points portant sur des notions transversales. La Question 1 interroge sur la parabole. Pour trouver le sommet $S(\alpha ; \beta)$, la formule $\alpha = -b/(2a)$ est indispensable. Ici, $4/(2 \times 2) = -1$, ce qui élimine immédiatement la proposition A. Le calcul de l'ordonnée confirme la réponse C.

La Question 2 porte sur les probabilités conditionnelles via un arbre pondéré. L'erreur classique est de confondre $p(B)$ et $p_A(B)$. Pour obtenir $p(B)$, il faut appliquer la formule des probabilités totales : $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = 0,6 \times 0,3 + 0,4 \times 0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26$. La réponse correcte se déduit ensuite par élimination ou calcul direct de $p_B(A)$.

La Question 4 introduit la fonction exponentielle couplée à une dérivation de produit $(uv)' = u'v + uv'$. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^x$, on obtient $1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$. C'est un grand classique des épreuves de spécialité.

Exercice 2 : Analyse de fonction et tangentes

Cet exercice se concentre sur l'étude d'un polynôme de degré 3. La dérivation $f'(x) = 3x^2 + 6x + 3$ est la première étape. Un élève attentif remarquera immédiatement l'identité remarquable : $f'(x) = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x+1)^2$.

Piège à éviter : Puisque $f'(x) \geq 0$, certains élèves oublient de mentionner que la dérivée s'annule en -1. Même si la fonction est strictement croissante, le tableau de variation doit faire apparaître cette valeur particulière où la tangente est horizontale (pente nulle).

La question 5 est plus subtile : elle demande de trouver les points où la tangente est parallèle à $y = 3x - 100$. Rappelons que deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. Il faut donc résoudre l'équation $f'(x) = 3$, soit $3x^2 + 6x + 3 = 3$, ce qui revient à $3x^2 + 6x = 0$. Les solutions $x=0$ et $x=-2$ donnent les abscisses des points recherchés.

Exercice 3 : Les suites numériques et le placement financier

L'exercice 3 modélise un placement à intérêts composés (5% par an). C'est l'application directe des suites géométriques. La raison est $q = 1 + 5/100 = 1,05$.

Conseil méthodologique : Toujours bien définir la relation de récurrence $u_{n+1} = 1,05 \times u_n$ avant de passer à la forme explicite $u_n = 5000 \times 1,05^n$. Pour la question 5, il s'agit de vérifier si $u_{15} \geq 10000$. Le calcul donne environ 10394,64 euros, validant ainsi l'affirmation. Il est important de rédiger la conclusion en faisant le lien avec le contexte concret (le capital a effectivement doublé).

Exercice 4 : Géométrie repérée et produit scalaire

Le dernier exercice lie cercle et produit scalaire. La justification de l'équation du cercle repose sur la définition : un point $M(x;y)$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $R$ si $AM^2 = R^2$. Le calcul de la distance $AB$ donne $\sqrt{10}$, d'où l'équation $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10$.

Le calcul du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AE}$ est crucial. Avec $\vec{AB}(3; 1)$ et $\vec{AE}(2; -6)$, le produit scalaire vaut $3 \times 2 + 1 \times (-6) = 0$. L'orthogonalité des vecteurs implique que les droites (AB) et (AE) sont perpendiculaires. C'est une question classique qui teste la maîtrise du repérage.

La détermination de l'intersection entre une droite et un cercle (Question 5) nécessite de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle. C'est souvent la question la plus calculatoire où la rigueur est de mise pour éviter les erreurs de signes.

Conclusion

En résumé, ce sujet 57 est un excellent test de fin d'année. Il ne présente pas de difficultés insurmontables mais exige une connaissance parfaite des formules de dérivation, des propriétés des suites et des outils de géométrie analytique. Pour réussir, l'élève doit particulièrement soigner la rédaction de ses justifications, notamment pour l'étude de signe et l'utilisation du produit scalaire.