Introduction au Sujet 16 - Spécialité Mathématiques Première

Le sujet 16 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques de Première (anciennement E3C) est un excellent support de révision. Il balaie un spectre très large du programme, allant de la géométrie vectorielle à l'algorithmique en Python, en passant par l'analyse de fonctions et les probabilités. Ce sujet se distingue par son équilibre entre la lecture graphique, le calcul algébrique pur et la modélisation de situations concrètes.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points teste la réactivité des élèves sur des notions fondamentales du programme. On y retrouve :

• Produit scalaire : La question 1 nécessite l'utilisation de la formule trigonométrique. Le piège classique réside dans le calcul de l'angle entre les vecteurs $\vec{FE}$ et $\vec{FG}$.
• Analyse graphique : La question 2 porte sur le nombre dérivé $f'(0)$, qui correspond au coefficient directeur de la tangente. Une erreur fréquente est de confondre la valeur de la fonction $f(0)$ et la pente de la droite.
• Géométrie analytique : L'équation de cercle et les vecteurs normaux (questions 3 et 5) font appel à la connaissance par cœur des formules du cours de géométrie repérée.

Conseil méthodologique : Dans un QCM, commencez par éliminer les réponses absurdes (comme un rayon négatif ou un coefficient directeur de signe opposé à la courbe).

Exercice 2 : Second degré et Étude de fonction

La partie A demande de résoudre $x^2 - 7x + 6 = 0$. C'est une application directe du discriminant $\Delta$. Les racines évidentes (ici 1 et 6) peuvent faire gagner un temps précieux. La partie B fait le lien entre ce polynôme du second degré et la dérivée d'une fonction du troisième degré $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x$.

Piège à éviter : Lors du calcul de la tangente au point d'abscisse 3, n'oubliez pas d'utiliser la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Ne confondez pas le calcul de l'image $f(3)$ et du nombre dérivé $f'(3)$.

Exercice 3 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice utilise un contexte concret (salon de coiffure) pour introduire un tableau de contingence. La difficulté principale réside dans le passage du texte aux chiffres : il faut identifier correctement les intersections (notion de "parmi ceux qui").

Notions clés : Probabilités conditionnelles $P_E(\overline{C})$ et Espérance mathématique $E(X)$. L'espérance représente le chiffre d'affaires moyen par client, un indicateur crucial en gestion. Pour réussir, assurez-vous que la somme de vos probabilités dans le tableau final est égale à 1.

Exercice 4 : Suites et Algorithmique Python

Le sujet se termine par une étude de population d'abeilles modélisée par une suite arithmético-géométrique du type $u_{n+1} = au_n + b$.

1. Python : La boucle `while` est utilisée pour déterminer le seuil. Il faut simuler l'évolution de la variable $C$ étape par étape.
2. Théorie des suites : La question sur la nature de la suite (arithmétique ou géométrique) est une question de cours classique. Comme la raison $0,92$ est différente de $1$ et que la constante ajoutée ($50$) est non nulle, la suite n'est ni l'une ni l'autre.
3. Analyse de limite : En étudiant l'expression explicite $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n$, on remarque que $0,92^n$ tend vers 0. Ainsi, le nombre de colonies ne dépassera jamais 625, ce qui répond à la question sur l'objectif de 700 colonies.

Conclusion

Ce sujet 16 est une synthèse parfaite pour vérifier sa maîtrise du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il demande à la fois de la rigueur dans les calculs (Exercice 2) et une bonne capacité d'interprétation (Exercices 3 et 4). C'est un entraînement idéal pour consolider ses bases avant l'année de Terminale.