Introduction au Sujet 27 de l'E3C 2020

Le sujet 27 des épreuves de contrôle continu de 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première offre un panorama complet du programme. Ce sujet se distingue par son équilibre entre l'analyse fonctionnelle, les suites numériques modélisant des situations réelles et les probabilités conditionnelles. La difficulté globale est jugée modérée, mais elle exige une grande rigueur dans l'exécution des calculs, notamment pour le QCM initial et l'étude de fonction du deuxième exercice.

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points balaie des concepts clés. La Question 1 porte sur la fonction exponentielle : il faut se rappeler que la fonction $x \mapsto e^{kx}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si $k > 0$. La Question 2 interroge sur l'axe de symétrie d'une parabole ($x = -b/2a$), une notion fondamentale du second degré. Pour la Question 3, l'astuce consiste à résoudre $a(x) = b(x)$ et à étudier le discriminant de l'équation du second degré résultante. La Question 4 teste la maîtrise de la somme des termes d'une suite géométrique ($1 \times \frac{1 - 5^{11}}{1 - 5}$). Enfin, la Question 5 demande une lecture graphique fine : des tangentes horizontales signifient que les nombres dérivés s'annulent ($f'(-1) = 0$ et $f'(3) = 0$), rendant leur produit nul.

Pièges à éviter : Confondre l'indice de la somme (11 termes et non 10 pour $5^{10}$) et oublier que la croissance de l'exponentielle dépend du signe de son coefficient interne.

Exercice 2 : Analyse et Dérivation

Ici, on étudie une fonction polynôme de degré 3 : $f(x) = x^3 + x^2 - x - 1$. L'exercice commence par une lecture graphique (racines de la fonction) pour ensuite passer à la dérivation formelle. Le calcul de $f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$ permet de dresser le tableau de variations après étude du signe du trinôme. La question finale est particulièrement intéressante : elle demande de comparer $g(x) = x^3 + x^2$ et $y = x + 1$. Le lien subtil est que $g(x) - (x + 1) = f(x)$. Ainsi, la position relative dépend directement du signe de $f(x)$ trouvé précédemment.

Conseils méthodologiques : Toujours vérifier que les variations trouvées par le calcul de la dérivée sont cohérentes avec le graphique fourni. La factorisation de $f(x)$ peut être facilitée par la racine évidente -1 lue à la première question.

Exercice 3 : Suites et Modélisation

Cet exercice compare deux modèles de croissance pour le marché des voitures électriques. Le premier modèle est une suite géométrique de raison $1,21$ (hausse de 21%), tandis que le second est une suite arithmético-géométrique. Le candidat doit comparer les valeurs calculées aux données réelles pour choisir le modèle le plus fidèle (ici, le modèle géométrique semble plus proche des données de 2018). La partie algorithmique en Python est un classique de recherche de seuil : on cherche au bout de combien d'années la valeur $u_n$ dépasse 50 (milliers).

Pièges à éviter : Dans le calcul de $u_n$, ne pas oublier que $n$ correspond à $2015+n$. Dans l'algorithme Python, une erreur de syntaxe sur l'indentation ou le signe de comparaison changerait totalement le résultat.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles

L'exercice traite d'un tirage successif sans remise dans une urne. L'arbre pondéré est l'outil indispensable ici. La difficulté réside dans le fait que les probabilités du second tirage dépendent du premier. Pour montrer que $P(R_2) = 0,6$, il faut appliquer la loi des probabilités totales : $P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2)$. La dernière question porte sur une probabilité inversée (formule de Bayes) : sachant que le second est noir, quelle est la probabilité que le premier soit rouge ?

Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. Pour la question 2.d, utilisez la formule $P_{R_2}(\overline{R_1}) = \frac{P(R_1 \cap \overline{R_2})}{P(\overline{R_2})}$.

Conclusion

Ce sujet 27 est un excellent entraînement pour tester sa polyvalence. Il mobilise aussi bien des capacités d'abstraction (dérivation, suites) que des capacités d'interprétation de données concrètes (modélisation, probabilités). Maîtriser ce sujet assure une base solide pour l'examen de spécialité de fin d'année.