Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une application concrète des fonctions trigonométriques dans le domaine de l'électricité. L'objectif est d'étudier le comportement d'une diode soumise à une tension alternative modélisée par une fonction sinus de la forme $u(t) = A\sin(\omega t + \phi)$. Les élèves doivent mobiliser leurs connaissances sur les valeurs remarquables du cercle trigonométrique, la notion de période et la lecture graphique.

Points de vigilance et notions requises

• Valeurs remarquables : Il est indispensable de connaître parfaitement les valeurs de $\sin(\pi/3)$, $\sin(\pi + \alpha)$ et $\sin(5\pi/6)$.
• Unités : Le temps $t$ est en secondes. La calculatrice doit impérativement être réglée en mode Radian.
• Périodicité : Savoir qu'une fonction de type $x \mapsto \sin(ax+b)$ est périodique de période $T = 2\pi/a$.
• Inégalités : Comprendre le seuil de conduction de la diode ($\sqrt{3}/2$).

Correction détaillée

1. État à $t=0$ :
Calculons $u(0) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\pi/3)$. Comme $\sin(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, on a $u(0) = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$. Puisque $1,5 > \frac{\sqrt{3}}{2}$ (car $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$), la diode est passante.

2. Calcul de $u(1/100)$ :
$u(0,01) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0,01 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\pi + \pi/3)$.
En utilisant la relation $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$, on obtient $u(0,01) = -\sqrt{3}\sin(\pi/3) = -1,5$. Interprétation : La tension est négative, donc $u(0,01) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$, la diode est non passante.

3. Périodicité :
L'égalité $u(t + 0,02) = u(t)$ montre que la fonction $u$ est périodique de période $T = 0,02$ s. Cela correspond à une fréquence de 50 Hz, standard du réseau électrique français.

4. Étude du basculement :
a. Graphiquement, la courbe descend sous la barre des $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (environ 0,87) pour la première fois vers $t = 0,005$ s.
b. Vérification par le calcul : $u(0,005) = \sqrt{3}\sin(100\pi \times 0,005 + \pi/3) = \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\sin(\frac{5\pi}{6})$.
Comme $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, alors $u(0,005) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. La diode devient non passante précisément à cet instant.