Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction modélisant un résultat financier (bénéfice ou déficit) dans un contexte industriel. La fonction étudiée, $R(x) = (5x - 30)e^{-0,25x}$, combine une expression affine et une fonction exponentielle. L'enjeu principal réside dans la manipulation des unités (centaines de litres et dizaines de milliers d'euros) et dans l'application des outils d'analyse : calcul d'images, résolution d'inéquations et étude des variations par la dérivation.

Points de vigilance et notions de cours

• Unités : $x$ est en centaines de litres et $R(x)$ en dizaines de milliers d'euros. Une erreur de conversion fausse tout l'exercice.
• Signe de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de $R(x)$ et de $R'(x)$.
• Dérivation : Bien que la dérivée soit fournie, il est crucial de savoir qu'elle provient de la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Optimisation : Le maximum d'une fonction est atteint lorsque sa dérivée s'annule en changeant de signe.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul du résultat pour 700 litres

On cherche $R(7)$ car 700 litres correspondent à $x=7$.
$R(7) = (5 \times 7 - 30)e^{-0,25 \times 7} = 5e^{-1,75}$.
À la calculatrice, $R(7) \approx 0,86873$ dizaines de milliers d'euros, soit environ $8\,687$ euros.

2. Vérification du déficit pour 400 litres

Pour 400 litres, $x=4$.
$R(4) = (5 \times 4 - 30)e^{-0,25 \times 4} = (20 - 30)e^{-1} = -10e^{-1}$.
Comme $e^{-1} > 0$, alors $-10e^{-1} < 0$. Le résultat est négatif, il s'agit donc d'un déficit.

3. Résolution de $R(x) \geqslant 0$

Puisque $e^{-0,25x} > 0$ pour tout $x$, le signe de $R(x)$ est celui de $5x - 30$.
$5x - 30 \geqslant 0 \iff 5x \geqslant 30 \iff x \geqslant 6$.
Interprétation : L'entreprise réalise un bénéfice (ou un résultat nul) lorsqu'elle produit et vend au moins 600 litres de soin.

4. Optimisation du résultat

On utilise $R'(x) = (-1,25x + 12,5)e^{-0,25x}$. Le signe de $R'(x)$ dépend de celui de $-1,25x + 12,5$.
$-1,25x + 12,5 = 0 \iff x = \frac{-12,5}{-1,25} = 10$.
Comme le coefficient directeur $-1,25$ est négatif, $R'(x)$ est positive sur $[2 ; 10]$ et négative sur $[10 ; 20]$. La fonction $R$ est donc croissante puis décroissante. Le maximum est atteint pour $x=10$. L'entreprise doit produire 1000 litres pour maximiser son résultat.