Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet de Première Spécialité Mathématiques Amérique du Nord 2021, propose une étude comparative de deux évolutions de populations. Il mobilise deux piliers du programme de première : les suites numériques et l'algorithmique avec le langage Python. L'objectif est de modéliser une croissance en pourcentage (ville A) et une croissance constante (ville B) pour déterminer, à terme, laquelle dépassera l'autre.

Points de vigilance et notions requises

• Suites Géométriques : Une augmentation de $2\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{2}{100} = 1,02$. La suite est de la forme $u_{n+1} = u_n \times q$.
• Suites Arithmétiques : Une augmentation fixe de $110$ habitants correspond à une raison $r = 110$. La suite est de la forme $v_{n+1} = v_n + r$.
• Expressions fonctionnelles : Il est crucial de maîtriser les formules du terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ et $v_n = v_0 + n \times r$.
• Algorithmique : Savoir traduire une condition d'arrêt (« jusqu'à ce que » ou « au bout de combien d'années ») par une boucle while (Tant que).

Guide de résolution détaillé

1. Calcul des premiers termes :
Pour l'année 2011 ($n=1$), on applique les variations :
$u_1 = 4600 \times 1,02 = 4692$.
$v_1 = 5100 + 110 = 5210$.

2. Nature des suites :
$(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 4600$ et de raison $q = 1,02$.
$(v_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $v_0 = 5100$ et de raison $r = 110$.

3. Évolutions en 2020 :
L'année 2020 correspond à $n = 10$.
Pour la ville A : $u_{10} = 4600 \times 1,02^{10} \approx 5607$ habitants.
Pour la ville B : $v_{10} = 5100 + 10 \times 110 = 6200$ habitants.

4. Complétion de l'algorithme Python :
La boucle doit continuer tant que la population de A est inférieure ou égale à celle de B. Les instructions de mise à jour doivent refléter les calculs de l'énoncé :
while u <= v:
    u = u * 1.02
    v = v + 110
    n = n + 1