Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète par une suite mathématique. Le contexte est celui de la vente d'un hebdomadaire avec une progression constante en pourcentage, ce qui doit immédiatement orienter l'élève vers une suite géométrique. La présence d'un script Python souligne l'interdisciplinarité du programme de Première Spécialité, liant les mathématiques pures à l'informatique.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 2 % correspond à multiplier par $1 + \frac{2}{100} = 1,02$.
- Nature de la suite : Reconnaître que $u_{n+1} = u_n \times q$.
- Somme des termes : La formule $S = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ est indispensable pour la dernière question.
- Algorithmique : Comprendre le rôle des variables accumulateurs (S pour la somme) et des compteurs (n).
Correction détaillée
1. Calcul de $u_2$ et interprétation
On a $u_0 = 1200$. L'augmentation est de 2 %, donc la raison est $q = 1,02$.
$u_1 = 1200 \times 1,02 = 1224$.
$u_2 = 1224 \times 1,02 = 1248,48$.
Interprétation : Lors de la deuxième semaine après le lancement, l'étude prévoit la vente d'environ 1248 exemplaires (ou 1249 si l'on arrondit à l'unité).
2. Expression de $u_n$ en fonction de $n$
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1200$ et de raison $q = 1,02$.
D'après le cours, pour tout entier naturel $n$ :
$u_n = u_0 \times q^n = 1200 \times 1,02^n$.
3. Interprétation du programme Python
Le script utilise une boucle while. La variable u calcule les termes successifs de la suite, tandis que la variable S accumule la somme de ces termes ($u_0 + u_1 + ... + u_n$).
La condition S < 30000 signifie que l'on s'arrête dès que le cumul des ventes dépasse 30 000.
Résultat : Le fait que le programme retourne 20 signifie qu'il faut attendre la 20ème semaine après le début de l'opération pour que le nombre total d'exemplaires vendus depuis le lancement atteigne ou dépasse 30 000 unités.
4. Nombre total d'exemplaires au bout d'un an
Une année comporte 52 semaines. Si l'on compte de $u_0$ à $u_{51}$ (pour couvrir 52 semaines), nous calculons la somme :
$S = 1200 \times \frac{1 - 1,02^{52}}{1 - 1,02}$
$S = 1200 \times \frac{1 - 1,02^{52}}{-0,02}$
$S = -60000 \times (1 - 1,02^{52}) \approx 108\,023,6$.
Au bout d'un an, environ 108 024 exemplaires auront été vendus au total.