Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une population de bactéries modélisée par une suite numérique $(P_n)$. La structure de la relation de récurrence est de type arithmético-géométrique : $P_{n+1} = aP_n + b$. L'objectif est de manipuler des calculs de termes, d'implémenter un algorithme en Python et de reconnaître une suite géométrique dans un contexte de croissance en pourcentage.

Points de vigilance

• Modélisation : Une augmentation de $t\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{t}{100}$.
• Python : Attention à l'indentation et à la mise à jour de la variable dans la boucle for.
• Nature de la suite : Une suite est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante réelle appelée raison.

Guide de résolution et Correction

Question 1.a : Calcul des termes

On a $P_0 = 500$, $\alpha = 0,2$ et $\beta = 70$. La relation devient $P_{n+1} = 1,2P_n + 70$.
Pour $n=0$ : $P_1 = 1,2 \times 500 + 70 = 600 + 70 = 670$.
Pour $n=1$ : $P_2 = 1,2 \times 670 + 70 = 804 + 70 = 874$.
Il y aura donc 874 000 bactéries au bout de deux jours.

Question 1.b : Programme Python

Le programme doit mettre à jour la valeur de $P$ à chaque itération de la boucle. La ligne complétée est : P = 1.2 * P + 70 (ou (1+0.2)*P+70). La fonction doit ensuite renvoyer la valeur finale de p : return p.

Question 2 : Étude d'une croissance en pourcentage

a. Paramètres : Une augmentation de 9% se traduit par $P_{n+1} = P_n + 0,09P_n = 1,09P_n$. On en déduit $\alpha = 0,09$ et $\beta = 0$.
b. Nature : La suite est de la forme $P_{n+1} = q \times P_n$ avec $q = 1,09$. Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $P_0 = 500$ et de raison $q = 1,09$.
c. Évolution : Le terme général est $P_n = 500 \times 1,09^n$. Pour $n=9$ : $P_9 = 500 \times 1,09^9 \approx 500 \times 2,1719 \approx 1085,9$. Comme $1085,9 > 1000$ (soit $2 \times 500$), la population a effectivement doublé après 9 jours.