Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète (le transport de marchandises) à l'aide des suites numériques, thématique centrale du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'élève doit mobiliser ses connaissances sur les suites géométriques, l'utilisation du langage Python pour traduire un algorithme de seuil, et enfin le calcul d'une somme de termes consécutifs.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 11 % correspond à multiplier par $1 + \frac{11}{100} = 1,11$. C'est l'étape cruciale pour définir la nature de la suite.
- Structure de la suite : Il faut bien identifier le premier terme $u_0 = 300$ et la raison $q = 1,11$.
- Syntaxe Python : La condition dans une boucle
while (tant que) correspond à la condition pour que le processus continue. On veut s'arrêter quand $u \ge 1000$, donc on continue tant que $u < 1000$. - Somme des termes : La question 3 nécessite de sommer les termes de $u_0$ à $u_7$ (car 2019 correspond à $2012 + 7$).
Correction détaillée
1. Étude de la suite :
a. Chaque année, la cargaison augmente de 11 %, ce qui revient à multiplier le terme précédent par $1,11$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 300$ et de raison $q = 1,11$.
b. Pour tout entier naturel $n$, le terme général d'une suite géométrique est donné par $u_n = u_0 \times q^n$. On a donc : $u_n = 300 \times 1,11^n$.
2. Algorithmique et seuil :
a. Complétion de l'algorithme Python :
u = 300
n = 0
while u < 1000:
u = u * 1.11
n = n + 1
b. En utilisant la calculatrice ou par essais successifs : $u_{11} = 300 \times 1,11^{11} \approx 945,5$ et $u_{12} = 300 \times 1,11^{12} \approx 1049,5$. Le batelier changera de péniche au bout de 12 ans, soit en $2012 + 12 = 2024$.
3. Somme et Chiffre d'Affaires :
Le chiffre d'affaires total se calcule sur la période 2012 ($n=0$) à 2019 ($n=7$). Il y a $7 - 0 + 1 = 8$ termes. La somme $S$ des marchandises transportées est : $S = 300 \times \frac{1 - 1,11^8}{1 - 1,11} \approx 3557,8$ tonnes.
Le CA est donc $3557,8 \times 15 = 53367$ €. La proposition est donc fausse car $53367 < 70000$.