Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité utilise les suites numériques pour modéliser une problématique environnementale réelle : la gestion des déchets ménagers. Le sujet repose sur une évolution annuelle exprimée en pourcentage, un classique des épreuves de mathématiques. L'objectif est de traduire une baisse de 1,5 % par an en une structure de suite géométrique, de manipuler son expression générale et de mettre en œuvre un algorithme de recherche de seuil via le langage Python.

Points de vigilance et notions de cours

Pour aborder sereinement ce type de sujet, plusieurs notions fondamentales doivent être maîtrisées :

• Le coefficient multiplicateur : Passer d'une variation en pourcentage à un multiplicateur. Une baisse de $t\%$ revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$. Ici, $1 - \frac{1,5}{100} = 0,985$.
• Nature d'une suite : Identifier qu'un facteur multiplicatif constant entre deux termes consécutifs définit une suite géométrique ($d_{n+1} = q \times d_n$).
• Forme explicite : Connaître la formule du terme général $d_n = d_0 \times q^n$ pour effectuer des calculs directs sans récurrence.
• Algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle While (Tant que) pour déterminer le moment où une valeur franchit un seuil donné.

Guide de résolution et correction détaillée

1. Calcul et interprétation de $d_1$ :
La masse initiale en 2018 est $d_0 = 400$. En 2019 ($n=1$), la production baisse de 1,5 %. On calcule :
$d_1 = 400 \times (1 - 0,015) = 400 \times 0,985 = 394$.
Interprétation : En 2019, la masse moyenne de déchets ménagers par habitant dans cette commune sera de 394 kg.

2. Nature et expression de la suite :
a) Chaque année, la production est multipliée par $0,985$. Par définition, $(d_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,985$ et de premier terme $d_0 = 400$.
b) L'expression du terme général est donnée par la formule $d_n = d_0 \times q^n$. En remplaçant par les valeurs, on obtient : $d_n = 400 \times 0,985^n$.

3. Recherche de seuil et Python :
a) On cherche $n$ tel que $d_n < 365$. En consultant le tableau fourni, on observe que :
Pour $n=6$, $d_6 \approx 365,32$.
Pour $n=7$, $d_7 \approx 359,84$.
La masse devient inférieure à 365 kg pour $n = 7$. L'année correspondante est $2018 + 7 = 2025$.
b) En Python, l'algorithme doit itérer tant que la condition n'est pas remplie :

def solution():
    n = 0
    d = 400
    while d >= 365:
        n = n + 1
        d = d * 0.985
    return 2018 + n

L'utilisation de d >= 365 dans la boucle while garantit que l'on continue de chercher tant que l'objectif n'est pas atteint. Dès que d passe sous les 365, la boucle s'arrête et on renvoie l'année.