Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité porte sur la modélisation d'une population (colonies d'abeilles) à l'aide d'une suite arithmético-géométrique et d'un algorithme Python. Le sujet combine l'étude de l'évolution discrète, la manipulation de boucles non bornées (while) et l'étude des limites pour valider un seuil de capacité.
Points de vigilance et notions de cours
- Suites arithmético-géométriques : Reconnaître la forme $C_{n+1} = aC_n + b$. Savoir prouver qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique en calculant les premiers termes.
- Algorithmique : Comprendre la condition de sortie d'une boucle
while. La boucle s'arrête dès que la condition C < 400 devient fausse (soit $C \ge 400$). - Limites : Savoir que si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. C'est crucial pour la question sur le seuil de 700 colonies.
Correction détaillée
1. Algorithmique et Python
a) Tableau d'avancement (arrondi à l'entier) :
- Initialisation : $C = 300$, $N = 0$. Test $300 < 400$ ? Oui.
- Étape 1 : $C = 300 \times 0,92 + 50 = 326$. Test $326 < 400$ ? Oui.
- Étape 2 : $C = 326 \times 0,92 + 50 = 349,92 \approx 350$. Test $350 < 400$ ? Oui.
- Étape 3 : $C \approx 372$. Test $372 < 400$ ? Oui.
- Étape 4 : $C \approx 392$. Test $392 < 400$ ? Oui.
- Étape 5 : $C \approx 411$. Test $411 < 400$ ? Non. La boucle s'arrête.
b) La valeur renvoyée est $N = 5$. Cela signifie qu'après 5 ans (en 2024), le nombre de colonies dépassera pour la première fois le seuil de 400.
2. Nature de la suite
On a $C_0 = 300$, $C_1 = 326$ et $C_2 \approx 350$.
Différences : $C_1 - C_0 = 26$ et $C_2 - C_1 \approx 24$. Comme les différences ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique.
Rapports : $C_1/C_0 \approx 1,087$ et $C_2/C_1 \approx 1,073$. Comme les rapports ne sont pas égaux, la suite n'est pas géométrique.
3. Étude de la limite et conclusion
L'énoncé donne $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n$. Puisque $0 < 0,92 < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} 0,92^n = 0$. Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} C_n = 625 - 0 = 625$. Le nombre de colonies tend vers 625 sur le long terme. L'apiculteur ne pourra donc jamais atteindre les 700 colonies.