Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation d'une situation concrète (la dépréciation de la valeur d'un véhicule) par une suite numérique. Il articule deux compétences majeures du programme : la maîtrise des suites géométriques et la compréhension des algorithmes via le langage Python. L'objectif est de traduire une baisse en pourcentage en un coefficient multiplicateur, puis d'utiliser cette modélisation pour effectuer des prévisions temporelles, soit par le calcul direct, soit par une approche algorithmique (boucle conditionnelle).
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une baisse de $14\%$ correspond à un coefficient de $1 - \frac{14}{100} = 0,86$. C'est une erreur classique de confondre le taux et la raison.
- Nature de la suite : Pour justifier qu'une suite est géométrique, il faut montrer que $P_{n+1} = q \times P_n$.
- Condition d'arrêt Python : Dans une boucle
while, la condition doit être vraie pour que la boucle continue. Si l'on cherche quand la valeur passe en dessous de $1500$, la boucle doit tourner tant que $P \ge 1500$. - Terme général : Savoir utiliser la formule $P_n = P_0 \times q^n$.
Correction détaillée
1. Étude de la suite
a. Chaque année, la valeur baisse de $14\%$. Pour passer de $P_n$ à $P_{n+1}$, on multiplie donc par $0,86$. La suite $(P_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $P_0 = 10500$ et de raison $q = 0,86$.
b. En 2010, le rang est $n = 2010 - 2002 = 8$.
On calcule $P_8 = P_0 \times 0,86^8 = 10500 \times 0,86^8 \approx 3141,67$.
La valeur de la voiture en 2010 était d'environ $3\,141,67$ euros.
2. Algorithmique et Python
a. Pour compléter le programme, nous devons définir la condition de maintien dans la boucle et la mise à jour de la valeur de la voiture :
while P >= 1500: (on continue tant que le prix est supérieur ou égal au seuil)
P = P * 0.86 (on applique la baisse annuelle).
b. Pour trouver la valeur renvoyée, on cherche le plus petit entier $n$ tel que $10500 \times 0,86^n < 1500$.
En testant à la calculatrice :
$P_{12} = 10500 \times 0,86^{12} \approx 1718$
$P_{13} = 10500 \times 0,86^{13} \approx 1477$
La boucle s'arrête pour $n = 13$ itérations après 2002. Le programme renvoie donc 2015 (car $n$ commence à 2002 et est incrémenté 13 fois).