Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'un processus physique (le refroidissement d'un four) modélisé par une suite numérique. L'énoncé présente une particularité intéressante : la suite n'est pas définie explicitement au départ par une formule, mais à travers un algorithme de calcul. C'est un cas classique de liaison entre l'algorithmique et les mathématiques pures.
Points de vigilance et notions requises
- Suites arithmético-géométriques : Il faut savoir reconnaître la forme $u_{n+1} = au_n + b$. Ici, $a=0,82$ et $b=3,6$.
- Interprétation d'un algorithme : Comprendre qu'une boucle 'Pour' (For) correspond à l'itération d'une suite.
- Programmation Python : Savoir traduire un algorithme en script, notamment la boucle 'Tant que' (While) pour les problèmes de seuil.
- Précision numérique : Attention aux arrondis demandés (à l'unité) pour ne pas perdre de points bêtement.
Correction détaillée
1. Température après une heure :
D'après l'algorithme, pour $n=1$, on effectue une itération : $T_1 = 0,82 imes 1000 + 3,6 = 823,6$ °C.
2. Relation de récurrence :
Le passage d'une heure à la suivante dans l'algorithme est défini par l'affectation $T \gets 0,82 imes T + 3,6$. On en déduit la relation : $T_{n+1} = 0,82 T_n + 3,6$.
3. Température après 4 heures :
Calculons les termes successifs :
- $T_1 = 823,6$
- $T_2 = 0,82 imes 823,6 + 3,6 = 678,952$
- $T_3 = 0,82 imes 678,952 + 3,6 \approx 560,34$
- $T_4 = 0,82 imes 560,34 + 3,6 \approx 463,08$
La température après 4 heures est d'environ 463 °C.
4. Compléter le code Python :
Pour que la boucle s'arrête dès que la température est inférieure à 70, il faut qu'elle continue tant que la température est supérieure ou égale à 70.
Ligne 4 : while T >= 70:
Ligne 5 : T = 0.82 * T + 3.6
5. Détermination du seuil :
En poursuivant les calculs à la calculatrice ou par itération :
$T_{13} \approx 94,3$ ; $T_{14} \approx 80,9$ ; $T_{15} \approx 69,9$.
C'est donc au bout de 15 heures que le four peut être ouvert sans risque.