Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité Mathématiques aborde deux modèles de croissance classiques à travers l'étude de l'évolution d'un arbre : la croissance linéaire (Partie A) et la croissance exponentielle (Partie B). L'objectif est de mobiliser les outils des suites numériques pour modéliser des phénomènes concrets et d'interpréter un script Python calculant une somme de termes.
Points de vigilance et notions requises
- Unités : En partie A, attention à convertir l'augmentation de 40 cm en mètres (0,4 m) pour rester cohérent avec $u_0 = 1$ m.
- Nature des suites : Savoir justifier une suite arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$) et une suite géométrique ($v_{n+1} = v_n \times q$).
- Sommes et itérations : Dans la partie Python, il est crucial de comprendre que la boucle
range(10) effectue 10 itérations, menant au calcul du nombre total de branches après 10 ans.
Correction Détaillée
Partie A : Hauteur de l'arbre
1. a) $u_1 = u_0 + 0,4 = 1 + 0,4 = 1,4$ mètres.
1. b) Deux ans après, $u_2 = u_1 + 0,4 = 1,8$ mètres.
2. La suite $(u_n)$ est une suite arithmétique car on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même constante $r = 0,4$.
3. Formule explicite : $u_n = u_0 + n \times r = 1 + 0,4n$.
4. On cherche $n$ tel que $u_n = 9$ :
$1 + 0,4n = 9 \iff 0,4n = 8 \iff n = \frac{8}{0,4} = 20$.
L'arbre atteindra 9 mètres au bout de 20 ans.
Partie B : Nombre de branches
1. On observe que le nombre de nouvelles branches double chaque année. Ainsi $v_{n+1} = 2 \times v_n$. La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 2$.
2. a) Calculons les nouvelles branches : $v_1=4$, $v_2=8$, $v_3=16$.
Nombre total de branches après 3 ans : $S = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30$. L'affirmation est vérifiée.
2. b) Le programme Python initialise total à $v_0$. La boucle s'exécute 10 fois (de $i=0$ à $i=9$). À chaque étape, on calcule le nombre de nouvelles branches de l'année suivante et on l'ajoute au cumul. La valeur 4 094 représente donc le nombre total de branches de l'arbre 10 ans après sa plantation.