Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité Mathématiques de 2020, propose une mise en situation concrète : la comparaison de deux évolutions salariales. Camille bénéficie d'une augmentation fixe (croissance linéaire), tandis que Dominique bénéficie d'une augmentation proportionnelle (croissance exponentielle). Ce problème permet d'aborder les notions fondamentales de suites arithmétiques et géométriques, tout en introduisant une dimension algorithmique avec le langage Python.
Points de vigilance et notions de cours
- Suite Arithmétique : Utilisée pour Camille. Elle se définit par un premier terme $u_0$ et une raison $r$ que l'on ajoute à chaque étape ($u_{n+1} = u_n + r$).
- Suite Géométrique : Utilisée pour Dominique. Une augmentation de 4 % correspond à une multiplication par un coefficient multiplicateur $q = 1 + \frac{4}{100} = 1,04$.
- Modélisation temporelle : Il est crucial de bien identifier que l'année 2010 correspond à $n=0$. Ainsi, l'année 2020 correspond à $n=10$.
- Algorithmique : La boucle 'while' (tant que) est utilisée ici comme une recherche de seuil. La condition d'arrêt doit être réfléchie par rapport à l'objectif : dépasser le salaire de Camille.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Salaires en 2012 :
Pour Camille (2 ans d'augmentations de 600 €) : $14400 + 2 \times 600 = 15600$ €.
Pour Dominique (2 ans d'augmentations de 4 %) : $13200 \times 1,04^2 = 14280,96$ €.
2. Modélisation par les suites :
a) La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 14400$ et de raison $r = 600$.
b) On cherche $n$ tel que $u_n > 20000$. Soit $14400 + 600n > 20000 \Rightarrow 600n > 5600 \Rightarrow n > 56/6 \approx 9,33$. Le salaire dépassera 20 000 € pour $n=10$, soit en 2020.
c) Pour Dominique, $v_{n+1} = 1,04 \times v_n$. C'est une suite géométrique.
d) En 2020 ($n=10$), $v_{10} = 13200 \times 1,04^{10} \approx 19539$ €.
3. Algorithme Python :
L'objectif est de trouver quand B devient strictement supérieur à A. Les pointillés se complètent ainsi :
while B <= A: (Tant que Dominique gagne moins ou autant que Camille)
A = A + 600 (Augmentation de Camille)
B = B * 1.04 (Augmentation de Dominique)
n = n + 1 (Incrémentation de l'année)
Conclusion
L'exercice illustre parfaitement la supériorité à long terme d'une croissance géométrique sur une croissance arithmétique. Bien que Camille commence avec un salaire plus élevé et une augmentation fixe, le pourcentage appliqué au salaire de Dominique finira par compenser l'écart initial.