Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation d'une situation concrète (l'élimination d'un médicament dans le sang) par une suite numérique. L'énoncé introduit une évolution en pourcentage, ce qui conduit immédiatement à l'étude d'une suite géométrique. La seconde partie de l'exercice mobilise des compétences en algorithmie Python pour déterminer un seuil de concentration.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une baisse de 8 % correspond à une multiplication par $1 - \frac{8}{100} = 0,92$. C'est l'étape cruciale pour définir la raison de la suite.
- Nature de la suite : La relation $U_{n+1} = q \times U_n$ définit une suite géométrique.
- Algorithmique : La boucle
while (Tant que) s'arrête dès que la condition u > S n'est plus vérifiée. Il faut être attentif à la valeur de sortie de $n$.
Correction détaillée
1. Vérification de $U_1$ :
On a $U_0 = 2$. Une diminution de 8 % se traduit par : $U_1 = U_0 \times (1 - 0,08) = 2 \times 0,92 = 1,84$.
Interprétation : Au bout d'une heure, il reste 1,84 cm³ de médicament dans le sang du malade.
2. Expression et nature :
a) Pour tout $n$, $U_{n+1} = 0,92 \times U_n$.
b) La suite $(U_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $U_0 = 2$ et de raison $q = 0,92$.
3. Algorithme Python :
a) Dans la boucle while, il faut compléter par : u = u * 0.92.
b) Pour un seuil $S = 1,5$, on saisit volMedicament(1.5).
Calculons les termes successifs :
- $U_0 = 2$
- $U_1 = 1,84$
- $U_2 = 1,84 \times 0,92 \approx 1,693$
- $U_3 = 1,693 \times 0,92 \approx 1,557$
- $U_4 = 1,557 \times 0,92 \approx 1,433$
La boucle s'exécute tant que $u > 1,5$. Elle s'arrête donc à $n=4$ (car $U_4 < 1,5$). Le programme renvoie 4. Le nombre maximal d'heures entières durant lesquelles le médicament reste actif (au-dessus du seuil) est donc de 3 heures (puisqu'à la 4ème heure, le seuil est franchi vers le bas).