Analyse de l'exercice et concepts clés

Cet exercice sous forme de QCM balaye une large partie du programme de mathématiques de Première Spécialité. Il nécessite une maîtrise des automatismes sur les suites, les probabilités, la dérivation et le langage Python. Chaque question teste une compétence précise sans dépendre des autres.

Points de vigilance par question

• Suites (Q1) : Savoir passer d'une évolution en pourcentage à un coefficient multiplicateur. Une baisse de 13 % correspond à multiplier par $(1 - 0,13) = 0,87$.
• Variables aléatoires (Q2) : La formule de l'espérance $E(X) = \sum x_i p_i$ doit être apprise par cœur. Attention aux erreurs de signe lors du calcul des produits.
• Dérivation (Q3) : Utiliser la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Une erreur classique consiste à oublier les parenthèses lors de la distribution du signe moins.
• Évolutions (Q4) : Comprendre qu'une hausse et une baisse successives de même taux ne se compensent pas. Le taux réciproque d'une hausse de 10 % est inférieur à 10 %.
• Python (Q5) : Savoir lire une boucle for et identifier la mise à jour correcte d'une variable itérative.

Correction détaillée

Question 1 : On a $u_{n+1} = u_n - 0,13 u_n = (1 - 0,13)u_n = 0,87u_n$. La suite est donc géométrique de raison $q = 0,87$. Réponse D.

Question 2 : L'espérance est $E(X) = (-6 \times 0,2) + (-3 \times 0,1) + (0 \times 0,2) + (3 \times 0,4) + (x_5 \times 0,1)$.
$0,7 = -1,2 - 0,3 + 0 + 1,2 + 0,1x_5$
$0,7 = -0,3 + 0,1x_5 \Rightarrow 1,0 = 0,1x_5 \Rightarrow x_5 = 10$. Réponse C.

Question 3 : Soit $u(x) = 2x+3$ ($u'=2$) et $v(x) = 3x+7$ ($v'=3$).
$f'(x) = \frac{2(3x+7) - 3(2x+3)}{(3x+7)^2} = \frac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} = \frac{5}{(3x+7)^2}$. Réponse C.

Question 4 : Soit $P$ le prix initial. Après une hausse de 10 %, le prix est $1,1P$. Pour revenir au prix initial, on cherche $t$ tel que $1,1P \times (1 - t) = P$, soit $1 - t = 1/1,1 \approx 0,909$. Cela donne $t \approx 0,091$, soit une baisse de 9,1 %, ce qui est moins de 10 %. Réponse D.

Question 5 : Pour calculer $u_5$ à partir de $u_0 = 4$ avec $u_{n+1} = 3u_n - 5$, on doit répéter l'opération 5 fois. L'algorithme C initialise $u$ à 4 et applique la relation de récurrence dans une boucle for. Réponse C.