Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du sujet de Première Spécialité Mathématiques (Amérique du Nord, 2021). Il balaie un spectre large du programme : propriétés algébriques de la fonction exponentielle, géométrie analytique (orthogonalité), calcul de dérivée composée, formules de trigonométrie et interprétation graphique du nombre dérivé.

Points de vigilance et notions requises

• Exponentielle : Maîtrise des règles de calcul (\(e^a \times e^b = e^{a+b}\) et la factorisation).
• Géométrie : Savoir identifier un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\) à partir d'une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) et utiliser le produit scalaire pour tester l'orthogonalité.
• Dérivation : Appliquer la formule du produit \((uv)' = u'v + uv'\) en faisant attention à la dérivée de \(e^{-x}\) qui est \(-e^{-x}\).
• Trigonométrie : Connaître les relations sur le cercle trigonométrique (angles associés).
• Interprétation graphique : Se souvenir que \(f'(a)\) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).

Correction détaillée

Question 1 : On cherche à transformer l'expression \(e^{2x} + e^{4x}\). En développant la proposition c, on obtient : \(e^{3x}(e^x + e^{-x}) = e^{3x}e^x + e^{3x}e^{-x} = e^{3x+x} + e^{3x-x} = e^{4x} + e^{2x}\). La réponse correcte est donc la c.

Question 2 : On teste l'orthogonalité des vecteurs \(\vec{u}(-5; 2)\) et \(\vec{v}(4; 10)\) via le produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-5 \times 4) + (2 \times 10) = -20 + 20 = 0\). Les vecteurs sont orthogonaux. La réponse correcte est la c.

Question 3 : Soit \(f(x) = (2x - 1)e^{-x}\). On pose \(u(x) = 2x - 1\) (\(u'(x) = 2\)) et \(v(x) = e^{-x}\) (\(v'(x) = -e^{-x}\)). Alors \(f'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 - (2x - 1)) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = (-2x + 3)e^{-x}\). La réponse correcte est la c.

Question 4 : D'après les formules des angles associés sur le cercle trigonométrique, \(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\). La réponse correcte est la a.

Question 5 : \(f'(0)\) est la pente de la tangente \(T\) passant par \(A(0; 3)\). On observe graphiquement que cette droite passe aussi par le point de coordonnées \((0,6; 0)\). Le coefficient directeur est \(m = (0 - 3) / (0,6 - 0) = -3 / 0,6 = -5\). La réponse correcte est la d.