Analyse de l'exercice et concepts clés

Cet exercice sous forme de QCM balaye une large partie du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il demande une bonne maîtrise des fondamentaux : l'étude de signe d'un trinôme, les relations trigonométriques fondamentales, les propriétés du produit scalaire, la géométrie analytique (équations de droites) et les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Correction Détaillée par Question

• Question 1 (Second degré) : Pour $f(x) = x^2 + 2x + c$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(c) = 4 - 4c$. Puisque $c > 1$, alors $4c > 4$, ce qui implique que $4 - 4c < 0$. Un discriminant négatif signifie que le trinôme est toujours du signe de $a$ (ici $a=1>0$). La fonction est donc toujours positive. Réponse c.
• Question 2 (Trigonométrie) : On utilise la relation $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Ainsi, $(3/5)^2 + \sin^2(x) = 1 \implies 9/25 + \sin^2(x) = 1 \implies \sin^2(x) = 16/25$. Donc $\sin(x) = 4/5$ ou $\sin(x) = -4/5$. Comme $x \in [-\pi ; 0]$, le sinus doit être négatif ou nul. On en déduit $\sin(x) = -4/5$. Réponse b.
• Question 3 (Produit scalaire) : Dans un carré $ABCD$, les côtés adjacents sont perpendiculaires. Par définition, le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. Ainsi, $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Réponse a.
• Question 4 (Géométrie repérée) : L'axe des abscisses a pour équation $y=0$. On cherche donc $x$ tel que $2x - 0 + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$. Le point d'intersection est $A(-1/2 ; 0)$. Réponse d.
• Question 5 (Exponentielle) : D'après les propriétés de l'exponentielle, $\frac{e^x}{e^{-x}} = e^{x - (-x)} = e^{2x}$. Or, $(e^x)^2 = e^{2x}$. Réponse c.

Points de vigilance

• Attention au signe du sinus en fonction de l'intervalle donné (cercle trigonométrique).
• Ne pas confondre l'axe des abscisses ($y=0$) et l'axe des ordonnées ($x=0$).
• Maîtriser les propriétés de puissance appliquées à la fonction exponentielle.