Analyse de l'exercice

Cet exercice sous forme de QCM est un excellent test de synthèse pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il balaie des chapitres fondamentaux : les propriétés de la fonction exponentielle, la géométrie analytique (vecteurs et droites), le calcul de dérivées incluant la règle du produit, la trigonométrie de base et l'interprétation graphique du nombre dérivé.

Points de vigilance et notions requises

• Exponentielle : Maîtriser les propriétés de factorisation et les puissances. Rappel : $e^{a+b} = e^a \times e^b$.
• Géométrie : Savoir identifier un vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ d'une droite d'équation $ax+by+c=0$. Utiliser le produit scalaire pour tester l'orthogonalité : $xx' + yy' = 0$.
• Dérivation : Appliquer la formule $(uv)' = u'v + uv'$. Attention au signe dans la dérivation de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$.
• Trigonométrie : Connaître les formules de symétrie sur le cercle trigonométrique ($\pi+x$, $\pi-x$, $-x$).
• Graphique : Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Correction détaillée

1. Propriété de l'exponentielle :
On cherche à factoriser $e^{2x}+e^{4x}$. En factorisant par $e^{3x}$, on obtient : $e^{3x}(e^{-x} + e^{x})$.
Vérification : $e^{3x} \times e^{-x} = e^{3x-x} = e^{2x}$ et $e^{3x} \times e^{x} = e^{3x+x} = e^{4x}$. Réponse c.

2. Géométrie repérée :
Calculons le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-5 \times 4) + (2 \times 10) = -20 + 20 = 0$. Les vecteurs sont donc orthogonaux. Réponse c.

3. Calcul de dérivée :
$f(x) = (2x-1)e^{-x}$. Posons $u(x)=2x-1 \implies u'(x)=2$ et $v(x)=e^{-x} \implies v'(x)=-e^{-x}$.
$f'(x) = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 - (2x-1)) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = (-2x+3)e^{-x}$. Réponse c.

4. Trigonométrie :
D'après le cours sur le cercle trigonométrique, le point associé à $\pi+x$ est le symétrique par rapport à l'origine du point associé à $x$. Ainsi, $\sin(\pi+x) = -\sin(x)$. Réponse a.

5. Lecture graphique :
$f'(0)$ est la pente de la tangente $T$ au point $A(0;3)$. On observe que la droite descend. En partant de $A$, si on avance de $1$ unité en abscisse, on descend de $5$ unités pour rejoindre la droite (le point $(0.6 ; 0)$ semble être sur la droite, ce qui donne une pente $m = \frac{0-3}{0.6-0} = -5$). Réponse d.