Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu du sujet 39 de l'année 2020 pour le niveau Première Spécialité. Il balaye un large spectre du programme, testant la capacité des élèves à mobiliser rapidement des connaissances fondamentales sur la trigonométrie, l'analyse de fonctions, les probabilités et le second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Il faut maîtriser les propriétés de périodicité (période $2\pi$) et les formules d'angles associés comme $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$.
• Dérivation : La lecture d'un tableau de variations permet d'identifier les extremums locaux où la dérivée s'annule, ce qui correspond à des tangentes horizontales.
• Probabilités : La notion d'indépendance est cruciale : deux évènements $E$ et $F$ sont indépendants si et seulement si $p(E \cap F) = p(E) \times p(F)$.
• Second degré : La résolution d'inéquations nécessite le calcul du discriminant $\Delta$ et la connaissance de la règle du signe du trinôme.
• Variables aléatoires : Une attention particulière doit être portée sur les inégalités strictes ($>$) ou larges ($\geqslant$).

Correction détaillée

Question 1 : On cherche $\cos(25\pi + x)$. Puisque la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$, on peut retirer les multiples de $2\pi$. $25\pi = 24\pi + \pi$. Ainsi, $\cos(25\pi + x) = \cos(\pi + x)$. D'après le cercle trigonométrique, $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$. La réponse exacte est b.

Question 2 : Le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse $a$ est donné par le nombre dérivé $f'(a)$. Dans le tableau de variations, on lit directement que pour $x = 3$, $f'(3) = 0$. La réponse exacte est a.

Question 3 : Comme $E$ et $F$ sont indépendants, $p(E \cap F) = p(E) \times p(F) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$. La réponse exacte est d.

Question 4 : L'inéquation est $-3x^2 + 11x + 1 \leqslant -3$, ce qui revient à $-3x^2 + 11x + 4 \leqslant 0$. Calculons $\Delta = 11^2 - 4(-3)(4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. Les racines sont $x_1 = \frac{-11 + 13}{-6} = -\frac{1}{3}$ et $x_2 = \frac{-11 - 13}{-6} = 4$. Le coefficient $a = -3$ est négatif, le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines : $]-\infty ; -\frac{1}{3}] \cup [4 ; +\infty[$. La réponse exacte est c.

Question 5 : On calcule $P(X > 2)$. Cela correspond à la somme des probabilités pour $x_i = 5$ et $x_i = 10$. $P(X > 2) = p(X=5) + p(X=10) = 0,13 + 0,36 = 0,49$. La réponse exacte est a.