Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu du sujet 39 de l'année 2020 pour le niveau Première Spécialité. Il balaye un large spectre du programme, testant la capacité des élèves à mobiliser rapidement des connaissances fondamentales sur la trigonométrie, l'analyse de fonctions, les probabilités et le second degré.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Il faut maîtriser les propriétés de périodicité (période \(2\pi\)) et les formules d'angles associés comme \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\).
• Dérivation : La lecture d'un tableau de variations permet d'identifier les extremums locaux où la dérivée s'annule, ce qui correspond à des tangentes horizontales.
• Probabilités : La notion d'indépendance est cruciale : deux évènements \(E\) et \(F\) sont indépendants si et seulement si \(p(E \cap F) = p(E) \times p(F)\).
• Second degré : La résolution d'inéquations nécessite le calcul du discriminant \(\Delta\) et la connaissance de la règle du signe du trinôme.
• Variables aléatoires : Une attention particulière doit être portée sur les inégalités strictes (\(>\)) ou larges (\(\geqslant\)).

Correction détaillée

Question 1 : On cherche \(\cos(25\pi + x)\). Puisque la fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\), on peut retirer les multiples de \(2\pi\). \(25\pi = 24\pi + \pi\). Ainsi, \(\cos(25\pi + x) = \cos(\pi + x)\). D'après le cercle trigonométrique, \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\). La réponse exacte est b.

Question 2 : Le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse \(a\) est donné par le nombre dérivé \(f'(a)\). Dans le tableau de variations, on lit directement que pour \(x = 3\), \(f'(3) = 0\). La réponse exacte est a.

Question 3 : Comme \(E\) et \(F\) sont indépendants, \(p(E \cap F) = p(E) \times p(F) = 0,4 \times 0,3 = 0,12\). La réponse exacte est d.

Question 4 : L'inéquation est \(-3x^2 + 11x + 1 \leqslant -3\), ce qui revient à \(-3x^2 + 11x + 4 \leqslant 0\). Calculons \(\Delta = 11^2 - 4(-3)(4) = 121 + 48 = 169 = 13^2\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-11 + 13}{-6} = -\frac{1}{3}\) et \(x_2 = \frac{-11 - 13}{-6} = 4\). Le coefficient \(a = -3\) est négatif, le trinôme est donc négatif à l'extérieur des racines : \(]-\infty ; -\frac{1}{3}] \cup [4 ; +\infty[\). La réponse exacte est c.

Question 5 : On calcule \(P(X > 2)\). Cela correspond à la somme des probabilités pour \(x_i = 5\) et \(x_i = 10\). \(P(X > 2) = p(X=5) + p(X=10) = 0,13 + 0,36 = 0,49\). La réponse exacte est a.