Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) classique de la spécialité Mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme, allant de la géométrie analytique à la dérivation, en passant par le produit scalaire et la trigonométrie. La structure sous forme de questions indépendantes permet de tester la maîtrise des automatismes fondamentaux sans qu'une erreur initiale ne pénalise la suite du devoir.

Points de vigilance et notions requises

• Géométrie repérée : Il faut connaître la relation entre l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ et le vecteur normal $\vec{n}(a; b)$. Pour le cercle, la maîtrise de la mise sous forme canonique est indispensable pour identifier le centre $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$.
• Produit scalaire : L'utilisation de la formule des normes $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(||\vec{u}||^2 + ||\vec{v}||^2 - ||\vec{u} - \vec{v}||^2)$ ou sa variante dans le triangle est un grand classique.
• Trigonométrie : La notion de mesures de l'angle principal et les congruences modulo $2\pi$ doivent être acquises.
• Dérivation : La règle de dérivation des fonctions composées du type $u^n$, qui donne $n \cdot u' \cdot u^{n-1}$, est ici la clé.

Correction détaillée

Question 1 : L'équation est $2x - 5y + 3 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n}(2; -5)$. Tout vecteur colinéaire à celui-ci est aussi normal. Le vecteur proposé en réponse d est $\begin{pmatrix}-2\\5 \end{pmatrix}$, ce qui correspond à $-1 \times \vec{n}$. C'est donc la réponse correcte.

Question 2 : Pour $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$, on regroupe les termes : $(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) = 0$. En utilisant les identités remarquables : $(x+3)^2 - 9 + (y-4)^2 - 16 = 0$, soit $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25$. Le centre est $A(-3; 4)$. Réponse b.

Question 3 : On utilise la formule $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$. Application numérique : $\frac{1}{2}(3^2 + 6^2 - 5^2) = \frac{1}{2}(9 + 36 - 25) = \frac{1}{2}(20) = 10$. Réponse b.

Question 4 : Deux réels sont associés au même point s'ils diffèrent d'un multiple de $2\pi$. On teste $\frac{13\pi}{4} - (-\frac{3\pi}{4}) = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$, ce qui correspond à $2 \times 2\pi$. Réponse c.

Question 5 : Soit $g(x) = u(x)^3$ avec $u(x) = 4x - 7$. Alors $u'(x) = 4$. La formule $g' = 3u'u^2$ donne $g'(x) = 3 \times 4 \times (4x-7)^2 = 12(4x-7)^2$. Réponse d.