Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques de Première Spécialité (2020), se présente sous la forme d'un QCM à cinq questions indépendantes. Ce format est idéal pour tester l'étendue des connaissances sur des thèmes fondamentaux : la géométrie analytique (vecteurs normaux et équations de cercles), le calcul numérique avec les suites arithmétiques, l'analyse avec la dérivation de fonctions exponentielles, et enfin les probabilités avec les arbres pondérés.

Points de vigilance et notions requises

• Géométrie repérée : Il faut connaître la forme générale de l'équation cartésienne d'une droite $ax + by + c = 0$ et savoir que le vecteur de coordonnées $(a; b)$ est normal à cette droite. Pour le cercle, la maîtrise de la forme canonique $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$ est essentielle.
• Sommes de suites : Une erreur classique est le comptage du nombre de termes dans la somme $u_n + ... + u_m$. La formule est $(m - n + 1)$.
• Dérivation : La dérivation de $f(x) = (x+1)e^x$ nécessite l'application rigoureuse de la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
• Probabilités : La formule des probabilités totales doit être appliquée pour calculer $p(B)$ à partir d'un arbre.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : L'équation est $4x + 5y - 7 = 0$. Les coefficients devant $x$ et $y$ donnent directement un vecteur normal $\vec{n}(4; 5)$. La réponse exacte est la c.

Question 2 : On transforme l'équation $x^2 - 2x + y^2 = 3$. En utilisant le début d'une identité remarquable, $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$. L'équation devient $(x-1)^2 - 1 + y^2 = 3$, soit $(x-1)^2 + y^2 = 4$. On reconnaît un cercle de centre $A(1; 0)$ et de rayon $R = \sqrt{4} = 2$. La réponse exacte est la a.

Question 3 : Il s'agit de la somme des termes d'une suite arithmétique de premier terme $15$ et de dernier terme $243$. Le nombre de termes est $243 - 15 + 1 = 229$. La somme est donnée par : $S = \text{nb de termes} \times \frac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} = 229 \times \frac{15 + 243}{2} = 229 \times 129 = 29\,541$. La réponse exacte est la c.

Question 4 : $f(x) = u(x)v(x)$ avec $u(x) = x+1$ ($u'(x)=1$) et $v(x)=e^x$ ($v'(x)=e^x$). $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x+1)e^x = e^x(1 + x + 1) = (x+2)e^x$. La réponse exacte est la a.

Question 5 : Selon la formule des probabilités totales : $p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = p(A) \times p_A(B) + p(\bar{A}) \times p_{\bar{A}}(B) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{15} + \frac{2}{12} = \frac{2}{15} + \frac{1}{6}$. En mettant au dénominateur commun $30$ : $p(B) = \frac{4}{30} + \frac{5}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. La réponse exacte est la d.