Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet 16 du bac de Première Spécialité 2020, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à cinq questions indépendantes. Il balaie des notions fondamentales du programme : la géométrie vectorielle (produit scalaire), l'analyse fonctionnelle (dérivation), et la géométrie analytique (équations de cercle et de droites).

Points de vigilance et notions de cours

• Produit scalaire : Rappelez-vous la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)$. Attention au sens des vecteurs.
• Dérivation : Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
• Cercle : L'équation d'un cercle de centre $C(x_C; y_C)$ et de rayon $R$ est $(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2$.
• Vecteur normal : Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$.

Correction détaillée

Question 1 : On utilise les vecteurs $\vec{FE}$ et $\vec{FG}$. L'angle $\widehat{EFG}$ est de $\frac{3\pi}{4}$. Le produit scalaire est $FE \times FG \times \cos(\frac{3\pi}{4}) = 8 \times 5 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -20\sqrt{2}$. La réponse correcte est la b.

Question 2 : $f'(0)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse 0. La droite passe par $A(0; 2)$ et $(2; 0)$. Sa pente est $m = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1$. La réponse correcte est la b.

Question 3 : Avec $B(2; 3)$ et $R=4$, l'équation est $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$, soit $16$. La réponse correcte est la c.

Question 4 : Graphiquement, on cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe et la droite horizontale $y = -3$. On observe que cela se produit pour $x = 0$ et $x = 1$. La réponse correcte est la d.

Question 5 : L'équation est $-3x - 2y + 5 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n}(-3; -2)$. Tout vecteur colinéaire est aussi normal. En multipliant par -1, on obtient $\vec{n}(3; 2)$. La réponse correcte est la d.