Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu d'un sujet de Première Spécialité de 2020, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à cinq questions indépendantes. Ce format est idéal pour tester la polyvalence des élèves sur des chapitres clés : la dérivation (lecture graphique et calcul), la trigonométrie, l'étude de signe d'un trinôme du second degré et la manipulation de la fonction exponentielle.
Point de vigilance : Lecture graphique et calcul de dérivée
Dans la Question 1, il s'agit de déterminer l'équation d'une tangente \(\mathcal{T}\). Rappelons que l'équation réduite est de la forme \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Ici, au point \(A(-3 ; 3)\), on sait déjà que si \(x = -3\), alors \(y = 3\). En testant les propositions, seule la réponse c (\(y = 5(-3) + 18 = 3\)) et la b conviennent sur le point de passage. Pour trancher, on regarde la pente (coefficient directeur) : graphiquement, la droite monte, le coefficient est donc positif. Le calcul \(f'(-3) = 5\) est confirmé par le déplacement graphique.
La Question 2 lie la fonction \(f\) à sa dérivée \(f'\). On observe que \(f'(-3) = 5\). En examinant les graphiques proposés, seule la courbe b passe par le point \((-3 ; 5)\).
Maîtrise de la trigonométrie et du cercle unité
La Question 3 demande de simplifier une expression trigonométrique. Il est crucial de connaître les formules de réduction :
- \(\cos(x + \pi) = -\cos(x)\)
- \(\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)\)
En additionnant les deux termes, on obtient \(-\cos(x) + \cos(x) = 0\). La réponse exacte est donc la b.Second degré et Exponentielle
Dans la Question 4, on étudie le signe de \(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\). C'est une parabole tournée vers le bas (\(a = -2 < 0\)). Les racines sont trouvées via le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4(-2)(6) = 16 + 48 = 64\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-4-8}{-4} = 3\) et \(x_2 = \frac{-4+8}{-4} = -1\). Le trinôme est du signe de \(-a\) (donc positif) entre les racines, soit sur \(]-1 ; 3[\). Réponse b.
Enfin, pour la Question 5, on dérive un produit \(u \times v\) avec \(u(x) = 2x - 1\) et \(v(x) = e^x\). La formule \(h' = u'v + uv'\) donne \(h'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2 + 2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x\). Réponse b.