Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de cinq questions indépendantes. Ce format est classique dans les épreuves de Première Spécialité car il permet de balayer un large spectre du programme en un temps réduit. Les thèmes abordés ici sont fondamentaux : les propriétés de la fonction exponentielle, l'équation de la tangente (dérivation), la géométrie analytique (équation cartésienne de droite), les propriétés de la fonction cosinus (trigonométrie) et l'étude du signe/racines d'un trinôme (second degré).
Points de vigilance et notions de cours
- Exponentielle : Il faut parfaitement maîtriser les relations algébriques, notamment e^a * e^b = e^(a+b).
- Dérivation : La formule de l'équation de la tangente en un point d'abscisse a est \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
- Géométrie : Un vecteur directeur \(\vec{u}(-b, a)\) est associé à une équation de la forme \(ax + by + c = 0\).
- Trigonométrie : La parité (\(\\cos(-x) = \\cos(x)\)) et la périodicité (\(2\pi\)) sont essentielles.
- Second degré : Le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses dépend directement du signe du discriminant \(\Delta\).
Correction détaillée
Question 1 : En appliquant la règle \(e^a \times e^b = e^{a+b}\), on obtient \(e^x \times e^{x+2} = e^{x + x + 2} = e^{2x+2}\). La réponse correcte est la a.
Question 2 : Par définition du cours, l'équation de la tangente à \(g\) en \(a=1\) est \(y = g'(1)(x - 1) + g(1)\). Cela correspond exactement à la réponse b.
Question 3 : Le vecteur directeur est \(\vec{u}(4, 7)\), donc \(b = -4\) et \(a = 7\). L'équation est de la forme \(7x - 4y + c = 0\) (ou \(-7x + 4y + c' = 0\)). En testant le point \(A(-2, 3)\) dans l'expression \(-7x + 4y - 26\) : \(-7(-2) + 4(3) - 26 = 14 + 12 - 26 = 0\). La condition est vérifiée. La réponse correcte est la a.
Question 4 : On sait que \(\cos(t + 4\pi) = \cos(t)\) car la fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique. On sait aussi que \(\cos(-t) = \cos(t)\) (fonction paire). Ainsi, l'expression vaut \(\cos(t) + \cos(t) = 2\cos(t)\). Comme \(\cos(t) = 2/3\), le résultat est \(2 \times (2/3) = 4/3\). La réponse correcte est la c.
Question 5 : Pour trouver les intersections avec l'axe des abscisses, on résout \(-x^2 + 6x - 9 = 0\). Calculons le discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0\). Puisque \(\Delta = 0\), l'équation admet une unique solution réelle. Il y a donc un seul point d'intersection. La réponse correcte est la b.