Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un classique des évaluations de Première Spécialité. Il balaye deux pans majeurs du programme : la géométrie vectorielle via le produit scalaire et l'analyse fonctionnelle à travers la dérivation. L'objectif est d'évaluer la rapidité d'exécution et la maîtrise des définitions fondamentales : calcul par le cosinus, projection orthogonale, distributivité vectorielle et lecture graphique d'un nombre dérivé (pente d'une tangente).

Points de vigilance et notions requises

• Produit scalaire : Il faut connaître les trois formes de calcul : la forme avec le cosinus (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)\)), la forme par projection et la distributivité.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
• Dérivée et Tangente : Le nombre dérivé \(f'(a)\) correspond physiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
• Signe de f vs Signe de f' : Ne pas confondre la position de la courbe (signe de la fonction) avec le sens de variation (signe de la dérivée).

Correction détaillée

Question 1 : On utilise la formule trigonométrique : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 5 \times 6 \times \cos(\frac{\pi}{4}) = 30 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}\). La réponse correcte est la a.

Question 2 : Par projection orthogonale de \(O\) sur la droite \((AB)\), notons \(I\) le projeté de \(O\). \(I\) est le milieu de \([AB]\). Ainsi \(\vec{AB} \cdot \vec{OB} = \vec{AB} \cdot \vec{IB}\). Comme les vecteurs sont colinéaires et de même sens : \(1 \times 0,5 = 0,5\). La réponse correcte est la c.

Question 3 : On développe par distributivité : \((\vec{u}+\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}) = 2\vec{u}^2 - \vec{u}\cdot\vec{v} + 2\vec{v}\cdot\vec{u} - \vec{v}^2\). Puisque \(\vec{u} \perp \vec{v}\), alors \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\). Il reste \(2||u||^2 - ||v||^2 = 2(2^2) - 1^2 = 8 - 1 = 7\). La réponse correcte est la d.

Question 4 : \(f'(5)\) est le coefficient directeur de la droite \(D\). En lisant graphiquement, la droite passe par \((5;0)\) et \((2;1)\). Le coefficient est \(m = \frac{1-0}{2-5} = -\frac{1}{3}\). La réponse correcte est la d.

Question 5 : Sur \(]-\infty; 0]\), la courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses, donc \(f(x) \ge 0\). Les autres propositions concernant la dérivée sont fausses car la fonction est d'abord croissante puis décroissante sur cet intervalle. La réponse correcte est la c.