Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur les probabilités discrètes dans le cadre d'un tirage successif avec remise. Il mobilise les notions d'arbre pondéré, de variable aléatoire (gain algébrique) et d'espérance mathématique. La seconde partie introduit un paramètre \(n\) (nombre de boules rouges), transformant le problème en une étude de fonction du second degré pour déterminer l'équité du jeu.

Points de vigilance

• Le gain algébrique : Il est impératif de soustraire la mise initiale (1 euro) des gains reçus pour obtenir les valeurs de \(X\) (ex: recevoir 3€ signifie un gain de +2€).
• L'indépendance : Le tirage se faisant avec remise, les probabilités restent identiques entre le premier et le second tirage.
• Modélisation de la Partie B : La probabilité de tirer une boule rouge est \(\frac{n}{10}\), celle d'une boule verte est \(\frac{10-n}{10}\).

Guide de résolution détaillé

Partie A :
1. L'arbre comporte 4 issues : \(R_1R_2\), \(R_1\overline{R_2}\), \(\overline{R_1}R_2\), \(\overline{R_1}\overline{R_2}\). Avec 1 boule rouge sur 10, \(P(R) = 0,1\) et \(P(\overline{R}) = 0,9\).
2. Valeurs de \(X\) : \(2\) (si \(RR\)), \(0\) (si \(VV\)), \(-1\) (si \(RV\) ou \(VR\)).
3. Pour \(P(X = -1)\), on additionne les branches \(R_1\overline{R_2}\) et \(\overline{R_1}R_2\) : \((0,1 \times 0,9) + (0,9 \times 0,1) = 0,09 + 0,09 = 0,18\) (soit \(18/100\)).
4. L'espérance \(E(X) = \sum p_i x_i = (2 \times 0,01) + (0 \times 0,81) + (-1 \times 0,18) = 0,02 - 0,18 = -0,16\). Le jeu est défavorable au joueur (perte moyenne de 0,16€ par partie).

Partie B :
1. On exprime \(P(Y=2) = (n/10)^2\), \(P(Y=0) = ((10-n)/10)^2\) et \(P(Y=-1) = 2 \times (n/10) \times ((10-n)/10)\).
En développant \(E(Y) = 2 \times \frac{n^2}{100} - 1 \times \frac{20n - 2n^2}{100}\), on obtient bien \(\frac{4n^2 - 20n}{100}\).
2. Un jeu est équitable si \(E(Y) = 0\). On résout \(4n^2 - 20n = 0 \Leftrightarrow 4n(n - 5) = 0\). Comme \(n\) est un entier naturel non nul ici, la solution est \(n = 5\). Il faut 5 boules rouges.