Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques est structuré en deux parties indépendantes mais complémentaires. La première partie mobilise les concepts de probabilités conditionnelles à travers un arbre pondéré. Il s'agit de modéliser le comportement de clients dans un club de vacances. La seconde partie utilise les suites numériques (plus précisément une suite géométrique) pour modéliser l'évolution du nombre de clients, complétée par un algorithme de seuil en Python.

Points de vigilance et notions requises

• Probabilités : Il est crucial de se rappeler que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. La formule des probabilités totales est la clé pour trouver $P(N)$. Enfin, pour l'indépendance, on vérifie l'égalité $P(R \cap N) = P(R) \times P(N)$.
• Suites : Une suite de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$ est géométrique. Le taux d'évolution $t$ est lié à la raison $q$ par la relation $q = 1 + t$.
• Python : Dans un algorithme de seuil, la boucle while s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée. Pour trouver quand $u_n \ge k$, on boucle tant que $u < k$.

Correction Détaillée

Partie A : Probabilités

1. Arbre : On a $P(R) = 0,25$ donc $P(\overline{R}) = 0,75$. Les données nous donnent $P_R(N) = 0,5$ et $P_{\overline{R}}(N) = 1/3$.
2. Probabilités totales : $P(N) = P(R \cap N) + P(\overline{R} \cap N) = (0,25 \times 0,5) + (0,75 \times 1/3) = 0,125 + 0,25 = 0,375$. Or $3/8 = 0,375$.
3. Probabilité inverse : $P_N(R) = \frac{P(R \cap N)}{P(N)} = \frac{0,125}{0,375} = \frac{1}{3}$.
4. Indépendance : $P(R) \times P(N) = 0,25 \times 0,375 = 0,09375$. Comme $P(R \cap N) = 0,125 \neq 0,09375$, les événements ne sont pas indépendants.

Partie B : Suites et Algorithmique

1. Nature : $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $q = 1,025$.
2. Taux : La raison est $1,025 = 1 + 0,025$, soit un taux d'évolution annuel de $2,5 \%$.
3. a) Python :
while u < k:
    n = n + 1
    u = u * 1.025
return n
b) Calcul du seuil : On cherche $n$ tel que $u_n \ge 600$. Soit $400 \times 1,025^n \ge 600$, donc $1,025^n \ge 1,5$. D'après le tableau, $1,025^{16} \approx 1,48$ et $1,025^{17} \approx 1,52$. La valeur renvoyée est 17. En 2042 ($2025+17$), l'effectif dépassera 600 clients.