Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur les probabilités conditionnelles, un pilier du programme de Première Spécialité. L'énoncé nous place dans le contexte d'une agence de voyage proposant deux modes de transport (avion $A$ ou train $T$) et une option supplémentaire (visites guidées $V$). L'enjeu est de traduire les données textuelles en notations probabilistes : $P(A) = 0,40$, $P_T(V) = 0,50$ et la probabilité de l'intersection $P(A \cap V) = 0,12$.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Construction d'un arbre pondéré : C'est souvent l'outil le plus efficace pour visualiser les branches.
• Distinction entre $P(A \cap V)$ et $P_A(V)$ : Beaucoup d'élèves confondent la probabilité de l'intersection et la probabilité conditionnelle.
• Formule des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer $P(V)$.
• Indépendance : Savoir traiter la répétition d'une expérience aléatoire deux fois de suite.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul de $P_A(V)$ :
On sait que $P(A \cap V) = P(A) \times P_A(V)$. Par conséquent, $P_A(V) = \frac{P(A \cap V)}{P(A)} = \frac{0,12}{0,40} = 0,3$. Cela signifie que 30 % des clients ayant choisi l'avion ont aussi pris les visites guidées.

2. Démonstration de $P(V) = 0,42$ :
D'après la formule des probabilités totales, $P(V) = P(A \cap V) + P(T \cap V)$.
On sait que $P(T) = 1 - P(A) = 0,60$. On calcule $P(T \cap V) = P(T) \times P_T(V) = 0,60 \times 0,50 = 0,30$.
Ainsi, $P(V) = 0,12 + 0,30 = 0,42$.

3. Probabilité conditionnelle inverse $P_{\bar{V}}(A)$ :
On cherche la probabilité que le client ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas pris l'option visite ($V^c$ ou $\bar{V}$).
$P(\bar{V}) = 1 - P(V) = 0,58$.
$P(A \cap \bar{V}) = P(A) - P(A \cap V) = 0,40 - 0,12 = 0,28$.
Alors $P_{\bar{V}}(A) = \frac{0,28}{0,58} \approx 0,48$.

4. Répétition d'expériences indépendantes :
Ici, on interroge deux clients. La probabilité qu'un client ne prenne pas l'option est $P(\bar{V}) = 0,58$. Comme les choix sont indépendants, la probabilité qu'aucun ne la prenne est $0,58 \times 0,58 = 0,58^2 = 0,3364$.