Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'application des probabilités conditionnelles dans un contexte médical (test de dépistage). L'objectif est de modéliser une situation réelle à l'aide d'un arbre pondéré et de calculer la probabilité de différents événements, notamment la probabilité a posteriori (formule de Bayes).

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable ici. Il faut bien distinguer les probabilités simples (comme $P(A)$) des probabilités conditionnelles (comme $P_A(T)$).
• La formule des probabilités totales : Utilisée à la question 2 pour calculer $P(T)$, elle nécessite d'additionner les probabilités des différents chemins menant à l'événement $T$.
• Interprétation : Ne pas confondre la probabilité d'être malade sachant que le test est positif avec la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade.

Correction détaillée

Données de l'énoncé : $P(A) = 0,015$, donc $P(\overline{A}) = 0,985$. Pour les tests : $P_A(T) = 0,95$ et $P_{\overline{A}}(\overline{T}) = 0,99$, d'où $P_{\overline{A}}(T) = 0,01$.

1. Probabilité que le test soit positif et la personne non malade :
On cherche $P(\overline{A} \cap T) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(T) = 0,985 \times 0,01 = 0,00985$.

2. Probabilité que le test soit positif $P(T)$ :
D'après la formule des probabilités totales :
$P(T) = P(A \cap T) + P(\overline{A} \cap T)$
$P(T) = (0,015 \times 0,95) + 0,00985 = 0,01425 + 0,00985 = 0,0241$.

3. Calcul de $P_T(\overline{A})$ et interprétation :
$P_T(\overline{A}) = \frac{P(T \cap \overline{A})}{P(T)} = \frac{0,00985}{0,0241} \approx 0,409$ (arrondi à $10^{-3}$).
Interprétation : Cela signifie que parmi les personnes ayant obtenu un test positif, environ 40,9 % ne sont en réalité pas atteintes par la maladie M. C'est ce qu'on appelle le taux de faux positifs au sein des résultats positifs.