Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte industriel (contrôle qualité). L'énoncé nous présente une situation de production répartie sur deux sites (A et B) avec des taux de défauts spécifiques. L'objectif est de modéliser cette situation par un arbre de probabilités et d'appliquer les formules fondamentales du cours : intersection, probabilité totale et inversion des probabilités (formule de Bayes).

Points de vigilance et notions requises

• L'arbre de probabilités : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Intersection (\(P(A \cap D)\)) : Elle se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer \(P(D)\), il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'événement \(D\).
• Probabilité conditionnelle inverse : Savoir distinguer \(P_A(D)\) (donné dans l'énoncé) de \(P_D(A)\) (la probabilité que l'on cherche à calculer à la fin).

Correction détaillée

1. Probabilité de A : L'énoncé indique que le site A produit les trois-quarts des aiguilles. On a donc \(P(A) = \frac{3}{4} = 0,75\).

2. Arbre de probabilités :
- Branche vers A : 0,75 ; Branche vers B : 0,25.
- Sous A : Branche vers D (0,02), Branche vers \(\overline{D}\) (0,98).
- Sous B : Branche vers D (0,04), Branche vers \(\overline{D}\) (0,96).

3. Probabilité \(P(A \cap D)\) :
\(P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,75 \times 0,02 = 0,015\).

4. Montrer que \(P(D) = 0,025\) :
D'après la loi des probabilités totales, \(D\) est la réunion des événements incompatibles \(A \cap D\) et \(B \cap D\).
\(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)\)
\(P(D) = 0,015 + (P(B) \times P_B(D)) = 0,015 + (0,25 \times 0,04)\)
\(P(D) = 0,015 + 0,01 = 0,025\).

5. Probabilité que l'aiguille provienne de A sachant qu'elle est défectueuse :
On cherche \(P_D(A)\).
\(P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0,015}{0,025} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6\).