Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité Mathématiques de 2020, porte sur l'étude des probabilités conditionnelles dans un contexte concret : l'entraînement de tennis de Roger. La situation modélise la distribution des balles par une machine (coup droit ou revers) et l'efficacité du joueur pour chaque type de frappe. L'objectif est de maîtriser la construction d'un arbre pondéré, le calcul d'une probabilité d'intersection, l'application de la formule des probabilités totales et, enfin, le calcul d'une probabilité inversée (formule de Bayes).

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : Il est essentiel de se rappeler que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Conversion des données : Savoir passer des pourcentages (75%) ou des fractions (9/10) à des nombres décimaux (0,75 et 0,9) facilite souvent les calculs.
• Formule des probabilités totales : Pour calculer $p(S)$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'événement $S$ ($D \cap S$ et $\overline{D} \cap S$).
• Probabilité conditionnelle : Bien distinguer $p_{\overline{D}}(S)$ (donné dans l'énoncé) de $p_{S}(\overline{D})$ (à calculer à la fin).

Correction détaillée

1. Calcul de $p(\overline{D})$ : Puisque $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers, $p(\overline{D}) = 1 - p(D) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

2. Arbre pondéré :
- Branche vers $D$ : $\frac{2}{3}$.
- Branche vers $\overline{D}$ : $\frac{1}{3}$.
- Branche $D \to S$ : $0,9$.
- Branche $D \to \overline{S}$ : $0,1$.
- Branche $\overline{D} \to S$ : $0,75$ (ou $\frac{3}{4}$).
- Branche $\overline{D} \to \overline{S}$ : $0,25$.

3. Calcul de $p(\overline{D} \cap S)$ :
$p(\overline{D} \cap S) = p(\overline{D}) \times p_{\overline{D}}(S) = \frac{1}{3} \times 0,75 = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = 0,25$.
Interprétation : La probabilité que la balle soit lancée sur le revers de Roger ET qu'il réussisse sa frappe est de 0,25 (soit une chance sur quatre).

4. Probabilité totale $p(S)$ :
D'après la formule des probabilités totales :
$p(S) = p(D \cap S) + p(\overline{D} \cap S) = (\frac{2}{3} \times 0,9) + 0,25$.
$p(S) = (\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}) + 0,25 = \frac{18}{30} + 0,25 = 0,6 + 0,25 = 0,85$.
La probabilité que la frappe soit un succès est bien 0,85.

5. Probabilité sachant le succès :
On cherche $p_S(\overline{D}) = \frac{p(\overline{D} \cap S)}{p(S)} = \frac{0,25}{0,85} = \frac{25}{85} = \frac{5}{17} \approx 0,29$.
Sachant que le coup est réussi, il y a environ 29 % de chances qu'il s'agisse d'un revers.