Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de 2020, traite des probabilités conditionnelles dans un contexte de santé publique (nutrition infantile). L'objectif est de modéliser une situation aléatoire complexe à l'aide d'un arbre pondéré pour ensuite calculer des probabilités d'intersections et des probabilités totales.

Points de vigilance et notions requises

• Traduction mathématique : Il faut identifier que « un enfant sur 8 » correspond à la probabilité conditionnelle $p_B(S) = 1/8 = 0,125$.
• L'arbre pondéré : Chaque nœud doit avoir une somme de probabilités égale à 1.
• Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer $p(S)$, elle nécessite de sommer les probabilités des chemins menant à l'évènement $S$.
• Probabilité « inversée » (Formule de Bayes) : La dernière question demande $p_S(B)$, ce qui nécessite de diviser $p(B \cap S)$ par $p(S)$.

Correction détaillée

1. Justification : On nous dit que parmi les enfants buvant au moins une boisson sucrée ($B$), un enfant sur 8 est en surpoids ($S$). Ainsi, $p_B(S) = \frac{1}{8} = 0,125$.

2. Arbre pondéré : L'arbre part de la racine vers $B$ (0,6) et $\overline{B}$ (0,4). De $B$, deux branches partent vers $S$ (0,125) et $\overline{S}$ (0,875). De $\overline{B}$, deux branches partent vers $S$ (0,08) et $\overline{S}$ (0,92).

3. Calcul de $p(B \cap S)$ : Selon la formule des probabilités composées, $p(B \cap S) = p(B) \times p_B(S) = 0,6 \times 0,125 = 0,075$.

4. Probabilité de $S$ : D'après la loi des probabilités totales : $p(S) = p(B \cap S) + p(\overline{B} \cap S) = 0,075 + (0,4 \times 0,08) = 0,075 + 0,032 = 0,107$.

5. Probabilité sachant $S$ : On cherche $p_S(B) = \frac{p(B \cap S)}{p(S)} = \frac{0,075}{0,107} \approx 0,701$.