Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles. L'énoncé place l'élève dans un contexte concret de gestion de stock chez un pépiniériste. Les données sont fournies sous forme de pourcentages, ce qui nécessite une traduction immédiate en probabilités décimales. L'objectif est de vérifier la maîtrise des outils de base : l'arbre de probabilité, le calcul d'une intersection et l'utilisation de la formule des probabilités totales.

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Intersection (\(A \cap B\)) : Se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin correspondant dans l'arbre.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer \(P(T)\), il faut additionner les probabilités de tous les chemins menant à l'évènement \(T\).
• Probabilité conditionnelle inverse : La question 5 demande \(P_{\bar{T}}(\bar{L})\), ce qui nécessite d'utiliser la définition : \(P(\bar{L} \cap \bar{T}) / P(\bar{T})\).

Guide de résolution détaillé

1. Vérification de l'affirmation

On cherche \(P(\bar{L} \cap \bar{T})\). L'énoncé indique que 20% sont des boules de neige (\(\bar{L}\)) et que parmi elles, 32% mesurent plus de 1,10m, donc 68% (\(1 - 0,32\)) mesurent moins de 1,10m.
\(P(\bar{L} \cap \bar{T}) = P(\bar{L}) \times P_{\bar{L}}(\bar{T}) = 0,20 \times 0,68 = 0,136\).
13,6% est inférieur à 15%, l'affirmation est donc vraie.

2. Description des évènements

• \(p_L(\bar{T})\) : La probabilité que l'arbuste mesure moins de 1,10 m sachant que c'est un laurier tin.
• \(\bar{L} \cap T\) : L'évènement « l'arbuste choisi est une boule de neige et mesure plus de 1,10 m ».

3. Complétion de l'arbre

Niveau 1 : \(P(L) = 0,8\) et \(P(\bar{L}) = 0,2\).
Niveau 2 (branches issues de L) : \(P_L(T) = 0,41\) et \(P_L(\bar{T}) = 0,59\).
Niveau 2 (branches issues de \(\bar{L}\)) : \(P_{\bar{L}}(T) = 0,32\) et \(P_{\bar{L}}(\bar{T}) = 0,68\).

4. Calcul de \(P(T)\)

D'après la loi des probabilités totales :
\(P(T) = P(L \cap T) + P(\bar{L} \cap T)\)
\(P(T) = (0,8 \times 0,41) + (0,2 \times 0,32) = 0,328 + 0,064 = 0,392\). Le résultat est bien conforme à l'énoncé.

5. Probabilité conditionnelle finale

On cherche \(P_{\bar{T}}(\bar{L}) = \frac{P(\bar{L} \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}\).
Nous savons que \(P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 1 - 0,392 = 0,608\).
\(P_{\bar{T}}(\bar{L}) = \frac{0,136}{0,608} \approx 0,224\).